複素数平面の問題について質問があります

質問

異なる4つの複素数α、β、γ、δを表す点をそれぞれA、B、C、Dとする。A、B、C、Dが同一円周上に

あるための条件を求めよ。という問題で、C、Dが直線A、Bに関して異なる側にあるとき、A、B、C、Dが

同一円周上にあるための条件は、

∠ABC＋∠ADB＝π　　∠αγβ-∠αδβ＝±π

で、∠αγβ-∠αδβ＝±π　の部分が分かりません。

分かる方がいらっしゃいましたら、説明よろしくお願いいたします。

回答No.2

Tacosan

#1 が言っていることはいくつかあるけど, とりあえず
「∠αγβ」が何を表すのかさっぱり分からんので定義しろ
と言っているのは理解できますか?

あとついでに突っ込んでおくと, 分数を表す「/」は「÷」と同じ意味だからね.

回答No.1

stomachman

> ∠ABC＋∠ADB＝π

　中学レベルの問題ですが、これじゃ落第。

> ∠αγβ-∠αδβ＝±π

　こっちはそもそも意味不明。何だろこれ。まさかと思うが
　　arg(αγβ)-arg(αδβ)＝±π
というつもりなのかな？ A,B,C,Dが円周上にあるということとは関係のない式だけど。複素数の積の計算は分かってますよね？

補足

回答ありがとうございます。解が一部だったため分かりにくくて申し訳ありませんでした。

先ず、A、B、C、Dが一直線上にあるための条件を求めると、

γ-α/β-αとδ-α/δ-αがともに実数であることである。……(1)

次に、A、B、C、Dが同一円周上にあるための条件を求める。

(2)C、Dが直線ABに関して同じ側にあるとき、A、B、C、Dが同一円周上にあるための条件は、

∠ACB＝∠ADB

∠αγβ＝∠αδβ

よって、argβ-γ/α-γ＝argβ-δ/α-δ　……(あ)

逆に(あ)が成り立つとき、偏角の符号を考えれば、C、Dは直線ABに関して同じ側にある。

(3)C、Dが直線ABに関して異なる側にあるとき、A、B、C、Dが同一円周上にあるための条件は、

∠ACB＋∠ADB＝π

∠αγβ-∠αδβ＝±π　（←ここがどうしてなのか分かりませんでした）　

よって、argβ-γ/α-γ-argβ-δ/α-δ＝±π　……(い)

逆に(い)が成り立つとき、偏角の符号を考えれば、C、Dは直線ABに関して異なる側にある。

(2)、(3)より、異なる4点A、B、C、Dが一直線上にないという条件のもとで、A、B、C、Dが同一円周上にあるため

の条件は、(あ)または(い)が成り立つことである。

(あ)または(い)より、

arg(β-γ/α-γ÷β-δ/α-δ)＝0または±π

このとき、β-γ/α-γ÷β-δ/α-δは実数である。

したがって、(1)、(2)、(3)より、

A、B、C、Dが同一円周上にあるための条件は、

β-γ/α-γとβ-δ/α-δがともに実数でなく、

β-γ/α-γ÷β-δ/α-δが実数となることである。