円周上 垂直 角度

質問

三角形ABCの外接円の中心をO、BとCから対辺に下ろした垂線の足をそれぞれDとEとしたとき、BD⊥ACとCE⊥ABから4点B、C、D、Eは同一円周上にあるから∠ADE=∠ABCになるらしいのですが、
「BD⊥ACとCE⊥ABから4点B、C、D、Eが同一円周上」と「4点B、C、D、Eは同一円周上にあるから∠ADE=∠ABC」となる理由がわかりません
教えてください

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

こんにちは。

>BD⊥ACとCE⊥ABから4点B、C、D、Eが同一円周上

これは、∠ＢＤＣ=∠Ｒ（直角）、∠ＣＥＢ=∠Ｒであることから
Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの４点は
ＢＣを直径とする円周上にあることがわかります。

（直径に対する円周角は９０°になることから）

次に
∠ADE=∠ABC
ですが、これはちょっと難しいです。

まず三角ＢＣＥは、同一円周上にある、としたので、
∠ＥＢＣは弦ＥＣに対する円周角

弦ＥＣに対するもうひとつの円周角∠ＥＤＣは
円に内接する四角形の性質から

∠ＥＢＣ＋∠ＥＤＣ=１８０°

また、∠ＡＤＥ+ＥＤＣ＝１８０°ですから

∠ＡＤＥ＝∠ＥＢＣ=∠ＡＢＣ

がいえます。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

ferien

＞三角形ABCの外接円の中心をO、BとCから対辺に下ろした垂線の足をそれぞれDとEとしたとき、
＞BD⊥ACとCE⊥ABから4点B、C、D、Eは同一円周上にあるから∠ADE=∠ABCになるらしいのですが、

＞ 「BD⊥ACとCE⊥ABから4点B、C、D、Eが同一円周上」と
BCを直径とする円周上にあります。
∠BDC＝∠BEC＝90°より、これらを弧BCの上の円周角と考えると、BCは直径です。

＞「4点B、C、D、Eは同一円周上にあるから∠ADE=∠ABC」
四角形BCDEは、上の円に内接する四角形で、向かい合う角の和は180°だから、
∠EBC（∠ABC）＋∠EDC＝180°
また、∠ADE＋∠EDC＝180°だから、
よって、∠ABC＝∠ADC

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

178-tall

>「BD⊥ACとCE⊥ABから4点B、C、D、Eが同一円周上」

直角三角形 BCD (∠BDC = 直角) にて、辺 BC の中点 M を想定する。
MB = MC = MD であることを示せば、点 M を中心とし半径 MB (= MC = MD) の円が三角形 BCD に外接するといえるだろう。

実際、点 M から辺 BD, CD へ垂線を立ててみれば、三角形 BMD, CMD が二等辺 (MB=MD, MC=MD) だとわかる。
これから、長辺 BC の直角三角形はその中点 M を中心とし半径 MB (= MC = MD) の円に外接する、ということになりそう。

>「4点B、C、D、Eは同一円周上にあるから∠ADE=∠ABC」

∠ADC = π = ∠ADE + ∠CDM + ∠EDM であるが、∠BEM + ∠DEM + ∠CDM = π なので、
　∠ADE + ∠CDM + ∠EDM = ∠EBM + ∠DEM + ∠CDM
つまり、
　∠ADE = ∠EBM = ∠ABC

お礼

ありがとうございました！