複素数の2乗の解説
- 複素数平面において、3点A(-1),B(1),C(√3i)を頂点とする△ABCが正三角形であることを用いて、3点P(α),Q(β),R(γ)を頂点とする△PQRが正三角形であるとき、等式α²+β²+γ²-βγ-γα-αβ＝0が成り立つことを証明する方法について説明します。
- △PQR∽△ABCのとき、(γ－α)/(β－α)=(√3i-(-1))/(1-(-1))=(1+√3i)/2 となります。したがって、2(γ－α)-(β－α)=(β－α)・√3i となります。この式を2乗すると、右辺が-(β－α)・√3iの項を含んでしまう可能性があります。
- しかし、両辺を2乗して導かれた等式は、△PQR∽△ABCの条件を満たしています。両辺が正の場合に限り、等式は成り立ちます。解答のやり方は正しいので、ご安心ください。
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複素数の2乗
複素数平面において、3点A(-1),B(1),C(√3i)を頂点とする△ABCが正三角形であることを用いて、3点P(α),Q(β),R(γ)を頂点とする△PQRが正三角形であるとき、 等式α²+β²+γ²-βγ-γα-αβ＝0が成り立つことを証明せよ。という問題で、途中、両辺を2乗すると解答にあるのですが、納得できないので説明お願いしたいです。 △PQR∽△ABCのとき (γ－α)/(β－α)=(√3i-(-1))/(1-(-1))=(1+√3i)/2 よって 2(γ－α)-(β－α)=(β－α)・√3i この式を２乗するのですが、２乗したら右辺が -(β－α)・√3iのときを含んでしまうと思います。 以前はsinx=cosxを、sin²x=cos²x として計算するとsinx=-cosxの解も含むと、注意を受けました。その他、線分ABとBCとCAなども、線分を２乗して方程式をつくり、Cの座標を求める問題もありますが、AB²＝(-BC)²または(-CA)²の場合が含まれているか、気になり出しました。両辺を２乗するのは両辺が正のときに限るとしてきたので、戸惑っています。 ２乗して導けた等式は、△PQR∽△ABCの条件を満たしているか不安です。どなたか解答のやり方でよいことを説明してください。お願いします。
- situmonn9876
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> この式を２乗するのですが、２乗したら右辺が-(β－α)・√3iのときを含んでしまうと思います。 そうですよ。それで何の都合が悪くなるのですか？ △PQR∽△ABCという条件からは２乗した等式が導けるけど，２乗した等式からは△PQR∽△ABCという条件は導けないということですよね。 △PQR∽△ABCという条件から２乗した等式が導けるのなら，解答として何の問題もないでしょ。 求められているのは 等式α²+β²+γ²-βγ-γα-αβ＝0が成り立つことから△PQRが正三角形であること を導くのではなく， △PQRが正三角形であることから等式α²+β²+γ²-βγ-γα-αβ＝0が成り立つこと を導くのですよ。
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- 178-tall
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>△PQR∽△ABCのとき > (γ－α)/(β－α)=(√3i-(-1))/(1-(-1))=(1+√3i)/2 > よって 2(γ－α)-(β－α)=(β－α)・√3i >この式を２乗するのですが、２乗したら右辺が -(β－α)・√3iのときを含んでしまうと思います。 ANo.1 さんのコメント通り、 この「テスト」では、点 P を中心として辺 PQ を ±60 度回転させたときに辺 PR と重なれば、△PQR は正三角形だとわかります。 どちらに回転したとき重なるのか、を知るには別途にテストを要しますネ。
お礼
-60度回転したときは、考えていなかったです。ご指摘ありがとうございます。
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