共役複素数

質問

こんばんは。高校数学II、共役複素数についての質問です。

私が使っている参考書（数学公式１８０）に記載されている公式の解説がわかりません。

＜公式＞実数を係数とするｎ次方程式　ｆ(ｘ)=0 について、
　　　　複素数　α＝ａ+ｂi　が解ならば
　　共役複素数　αバー＝ａ－ｂi　も解である。

<解説＞実数を係数とするｎ次方程式
　　　ｆ(x)＝Ａnx^n＋Ａ(n-1)x＾(n-1)＋Ａ(n-2)x^(n-2)
　　　　　 ＋…＋Ａ1X＋Ａ0＝0
　があるとき、ｆ(α）＝0とすると
　　　　　　Ａnα^n＋Ａ(n-1)α＾(n-1)＋…＋Ａ1α＋Ａ0＝0
　この両辺の共役複素数を考えると、実数については
　　　Ａバーk＝Ａk(k=0,1,2,…,n)が成り立つので
　　　Ａnαバー^n＋Ａ(n-1)αバー＾(n-1)＋…＋Ａ1αバー＋Ａ0＝0
　すなわち、ｆ(αバー）＝０が得られる。

　　↑この解説について？？です。
　わかる方、もしくは他の解説がありましたら教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.3

Ama430

＞＞(α^k)バー = (αバー)^k … (2)
＞＞になることが理解できますね。
＞＞（(1)式を繰り返し適用する。）

＞の部分が明確にわかりません。

αβの共役＝αの共役×βの共役

であることを利用します。

この式でβ＝αのとき、α2乗の共役＝αの共役の2乗
となります。
α3乗の共約＝（α2乗×α）の共役＝αの共役の2乗×αの共役
＝αの共役の3乗

同様に
α(n+1)乗の共約＝（αのn乗×α）の共役＝αの共役のn乗×αの共役
＝αの共役の(n+1)乗
となりますから、
(α^k)バー = (αバー)^k … (2)
となるわけです。

お礼

回答ありがとうございます。
共役複素数というものは概念が複雑ですね。つまり、そもそも存在しない虚数iというものを定義するわけですから、大変だと思います。（ところで、この共役複素数というもなは何にりよできるのでしょうね？素朴な疑問です。）

回答No.2

aquarius_hiro

><解説＞実数を係数とするｎ次方程式
>　　　ｆ(x)＝Ａnx^n＋Ａ(n-1)x＾(n-1)＋Ａ(n-2)x^(n-2)
>　　　　　 ＋…＋Ａ1X＋Ａ0＝0
>　があるとき、ｆ(α）＝0とすると

要するにαが解だということですよね。

>　　　　　　Ａnα^n＋Ａ(n-1)α＾(n-1)＋…＋Ａ1α＋Ａ0＝0

解なら方程式に代入して0になります。

いま、

ｆ(α）＝0

の両辺の複素共役をとり、

[ｆ(α）]バー＝0バー=0

その式から、

f(αバー)=0

を導こうとしています。

これが示せればαバーもf(x)=0の解であることが示されたことになります。

>　この両辺の共役複素数を考えると、実数については
>　　　Ａバーk＝Ａk(k=0,1,2,…,n)が成り立つので

実数は複素共役をとっても、同じものなので、
Aバー=Aであり、当然、Aバーk = Ak になりますね。

複素共役をとっても、係数は変わらないということです。

>　　　Ａnαバー^n＋Ａ(n-1)αバー＾(n-1)＋…＋Ａ1αバー＋Ａ0＝0
> すなわち、ｆ(αバー）＝０が得られる。

予備知識として、複素数αとβを考えたとき、
(αβ)バー = αバー・βバー … (1)
になることを覚えましょう。

なぜなら、α=x+iy,β=p+iq とおくと、

αβ = (x+iy)(p+iq) = xp - yq + i(yp + xq)

であり、また、

αバー・βバー = (x-iy)(p-iq) = xp - yq - i(yp + xq)

となるので、(αβ)バー = αバー・βバー が成立ちます。

要するに、掛け算の複素共役は、複素共役をとってから掛け算したのと同じになるわけです。

これを使えば、
(α^k)バー = (αバー)^k … (2)
になることが理解できますね。
（(1)式を繰り返し適用する。）

これがわかれば、

[f(α)]バー = Ａn(α^n)バー＋Ａ(n-1)[α＾(n-1)]バー＋…＋Ａ1αバー＋Ａ0＝0

の各項に(2)を適用して、

f(αバー) = Ａn(αバー)^n＋Ａ(n-1)(αバー)＾(n-1)＋…＋Ａ1αバー＋Ａ0＝0

もわかりますよね。

従って、αバーも解だということになります。

お礼

詳細な回答ありがとうございます。

＞ｆ(α）＝0の両辺の複素共役をとり、
＞[ｆ(α）]バー＝0バー=0
＞その式から、f(αバー)=0
＞を導こうとしています。

解答の方針を明確にしていただけ、助かりました。

補足

回答ありがとうございます。

追加質問ですが、
＞(α^k)バー = (αバー)^k … (2)
＞になることが理解できますね。
＞（(1)式を繰り返し適用する。）

の部分が明確にわかりません。もう少し説明していただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

exodus55

どこからが分からないのでしょうか？それを教えていただけたらもっといいんですが…。

Ａnα^n＋Ａ(n-1)α＾(n-1)＋…＋Ａ1α＋Ａ0＝0

の共役複素数を取ったとき、複素数に関係あるのは、αの部分だけですね？αはα（バー)になります。

実数には共役複素数はないですね？だから

Ａ(バー)k＝Ａk(k=0,1,2,…,n)

が成立します。そうすると

Ａnα^n＋Ａ(n-1)α＾(n-1)＋…＋Ａ1α＋Ａ0＝0

のαが全てα(バー)になってこれが=0になるので、共役複素数も解になります。

どうでしょうか？

補足

回答ありがとうございます。

＞実数には共役複素数はないですね？だから

＞Ａ(バー)k＝Ａk(k=0,1,2,…,n)

＞が成立します。そうすると

＞Ａnα^n＋Ａ(n-1)α＾(n-1)＋…＋Ａ1α＋Ａ0＝0　
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＞のαが全てα(バー)になってこれが=0になるので、共役複素数も解にな＞ります。　　←この部分が不明です。
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↑この部分が不明です。
質問　なぜ実数部分のＡ(バー)k＝Ａk(k=0,1,2,…,n)
が成立すると、ｆ(x)のα(バー)を代入したときに＝０となるのかがわかりません。
　よろしくお願いします。