[共役の複素数は、互いに素]と言えるのでしょうか？

質問

x^3=1の解を下記のように求めます。

x^3=1
⇔x^3-1=0
⇔x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0
⇔x=1,(-1±√3i)/2

そして、
α=(-1+√3i)/2,β=(-1-√3i)/2
とおきます。

ここで、[αとβは互いに素]と言えるのでしょうか？
それとも共役の複素数では言えないのでしょうか？

上記の解を、下記のように変形した、
cos0+isin0,
cos(2π/3)+isin(2π/3),
cos(4π/3)+isin(4π/3)
を考えると、「共役の複素数が、約数を持つのであれば、」と言う条件つきで、最大公約数が1であると思うのですが、この条件が成り立つかどうかが分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

chiropy · ベストアンサー

複素数は実数とは違う次元のものなので実数とすべて同じようには考えられません。（これは複素数には数の大小が無い事からもわかりますね。これがわからなければまた質問して下さい）
ここで本題ですが「互いに素」とは実数の世界の話で虚数の世界ではいえません。
iについて考えて見ます。iの約数は（1,i）－iの約数は(－1,i)となり、iと－iの公約数はiになると考えることができ納得できるでしょうか？（互いに素とはいえないのに言えるとしたらで議論するのはおかしいですが、自分の中で理解する為にこんな考え方をしてみては？）