z = |z|(cosx+isinx)とおきます。
ド・モルガンの定理より、
z^(-1) = |z|(cosx-isinx)となる事から、
zにおける共役複素数はz^(-1)と表す事ができます。
次に、任意の実数mにおいて、
z^m = |z|^m(cosmx + isinmx)
z^(-m) =|z|^m(cosmx-isinmx)
となり、z^(-m)はz^mの共役複素数になる事が分かります。
、(z)^m = (z^(-1))^mである事がいえます。
次に、n次の多項式をf(x)=Σ(k=1,n)ak×x^kとおくと、
f(z) = Σ(k=1,n)ak(cosx+isinx)^k = Σ(k=1,n)ak(coskx+isinkx)
= Σ(k=1,n)akcoskx + i(Σ(k=1,n)aksinx)
=(a1cosx+a2cos2x+... +ancosnx) + i(a1sinx+a2sin2x+..+ansinnx)
f(z^(-1)) = Σ(k=1,n)ak(cosx-isinx)^k = Σ(k=1,n)ak(coskx-isinkx)
=Σ(k=1,n)akcoskx - i(Σ(k=1,n)aksinkx)
=(a1cosx+a2cos2x+...+ancosnx) - i(a1sinx+a2sin2x+....+ansinnx)
となる事から、f(z)^(-1) = f(z^(-1))がいえます。
後は、f(z) = 0がならば、その共役複素数f(z)^(-1)も0になるので、
f(z)^(-1) = f(z^(-1))から、f(z^(-1))=0である事が言えるわけです。