a+biはa-biに共役である事の証明は?

質問

よろしくお願い致します。

「群Gに於いて、
x,y∈Gに対し、∃z∈G;x=zyz^-1の時、xはyに共役である」
と言うのが共役の定義ですよね。
ところで
複素数a+biの共役な元はa-biですよね(高校で習いました)。
、、、という事は
a+bi=z(a-bi)z^-1を満たす複素数zが存在するはずですよね。
具体的にzはどんな複素数になるのでしょうか?

回答No.4

zk43 · ベストアンサー

関数論の本ではたいがい、x+yiの共役をx-yiと定義するとしか書いてま
せんね。
共役をこのように定義しておくと、絶対値が共役を使って表わされたり
とか、円に関する鏡像が共役を使って表わされたりとか、実係数の代数
方程式では共役な複素数がペアになって解になるとか、複素数の実部・
虚部が共役を使って表わされるとか、複素関数論の勉強を進めていくと
しょっちゅう登場して便利だなと感じます。
代数的には複素数体は実数体の２次の拡大体であり、２次体でも同じ
ように共役が定義されます。数論とか代数の本を当たってみるのが良い
と思います。

お礼

有難うございます。
只今勉強しております。

回答No.3

koko_u_

複素数の「共役」の定義は群論の共役とは異なり、

体の2次拡大 C/R (C は複素数体、Rは実数体)のR-同型写像 σ : C -> C で移りあう(つまり σ(z) と z が互いに共役)

というもので、結局複素数体 C の自明でない R-同型写像は a+bi -> a-bi しかないことから、高校の時に習った共役と同じものになります。

お礼

有難うございます。
只今勉強しております。

回答No.2

zk43

同じ用語でも数の合同と図形の合同では定義が違いますし、
良い例が思い浮かびませんが、とにかく、複素数の共役と
群の共役では、同じ共役という用語を使っても定義が違います。

a+bi=z(a-bi)z^-1が通常の積だとしたら、これは可換なので、
a+bi=a-biから、b=0になってしまいます。
他の可換でない積を入れて群の構造を持たせられれば、群の
意味の共役も意味があると思いますが。

お礼

有難うございます。

「群Gに於いて、
x,y∈Gに対し、∃z∈G;x=zyz^-1の時、xはyに共役である」
↓
「非可換群Gに於いて、
x,y∈Gに対し、∃z∈G;x=zyz^-1の時、xはyに共役である」
が正しい定義なのですね。

複素数での共役ってどういう意味合いで定義されているのでしょうか?
(何気なく虚数部分の符号を変えただけとなってしますが)

群で定義されている共役は一般的で分かり易かったので複素数ではどうなのかなと疑問に思いました(つまり、群での共役は複素数では何う解釈すればいいのかなと疑問に思いました)。

> a+bi=a-biから、b=0になってしまいます。
納得です。

回答No.1

kabaokaba

数学の用語は文脈に依存します．

複素数にどのように群の構造をいれて考えてますか？
群の意味での「共役」を考えるのであれば
そのときの「群の構造」が問題になります．

ここで「ヒント」
以下のものが分かれば，答えは見えるでしょう．

群Gが可換群の場合は，Gの元 g に共役な元の集合は
どうなるか分かりますか？

複素数に入れることができる「一般的な群の構造」
（自明な構造とか，自然な構造といってもよい）で
可換ではないものってありますか？

お礼

ご回答有難うございます
>複素数にどのように群の構造をいれて考えてますか？
掛け算に関して複素数は可換群になりますよね。
それで群の構造を考えております。

>群Gが可換群の場合は，Gの元 g に共役な元の集合は
>どうなるか分かりますか？
x=zyz^-1
=zz^-1y
=1y
=y
でx=yになってしまいますね。

>可換ではないものってありますか？
うーん、思い当たりません。

つまり、共役を定義する時の群は非可換でないといけないのですね。