複素数 正三角形

質問

複素数で正三角形の頂点を求めたら、６０°回転のとき、-６０°回転のときで、答えが逆になりました。問題は
複素数平面上の３点z1=3+5i,z2=1-3i,z3=1-i をそれぞれP,Q,Rとするとき、次の点を表す複素数を求めよ。(2)正三角形PQTの頂点T　というものです。
自分は
i)60°回転のとき
T=1-3i+{3+5i-(1-3i)}{cos60°+isin60°}
= 1-3i+1+√3i+4i+4√3i^2
=2-4√3+(1+√3)i
と答えを出したのですが、教科書の解答ではこの値は-６０°回転のときの答えで、
教科書の解答の、６０°回転の値は、自分の-６０°回転のときの値になりました。
自分の計算間違いや、回転の向きの間違い、その他間違っている箇所を訂正してください。お願いします。

回答No.3

178-tall

>i)60°回転のとき
>T=1-3i+{3+5i-(1-3i)}{cos60°+isin60°}
>= 1-3i+1+√3i+4i+4√3i^2
>=2-4√3+(1+√3)i
>と答えを出したのですが、…
　　　↑
この過程を眺めるかぎり、
　点 Q を中心として辺 PQ を +60 度回転したときの、点 P の行き先 T
みたいですネ。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.2

info222_

>自分の計算間違いや、回転の向きの間違い、その他間違っている箇所を訂正してください。
回転の中心P (X Q) や回転の向き(∠QPT=60°)の取り方(を間違えているね。

>(2)正三角形PQTの頂点T
これから, 読み取るべきことは
頂点の順序(反時計回り)P-Q-T-Pの回転の向きが回転角の正の向きになります。
この時の回転の中心はPになります。
計算は
T=P+(Q-P)(cos60°+i sin60°)=z1+(z2-z1)(cos60°+i sin60°)
=3+5i +(1-3i-3-5i)(1/2+i √3/2)
=3+5i -(2+ 8i)(1/2+i √3/2)
=2+4√3+(1-√3) i

お礼

三角形の最初の頂点が回転の中心。頂点の順序(反時計回り)が、回転角の正の向きと覚えます。ありがとうございます。

回答No.1

tmppassenger

確認ですが、その本の「60°回転」というのは、「どの点を」「どの点を中心に」60°回転した結果ですか？

お礼

回転する点や、回転の中心となる点は、これから注意しようと思います。
ありがとうございました。

補足

回転した点、中心とした点は、書かれていません。