高校数学 複素数の分数変換の問題そのIIです。

質問

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14164311049
の(1)について教えてください。

　複素数平面上で、点 z が |z| = √2 をみたしながら動くとき、w = 1/(z-i) で定まる w について、
(1)w が描く図形を求めよ
w = 1/(z-i)
z = (1+iw)/w
z = (i-w)/iw
|z| = |i-w|/|w| = √2
|i-w| = √2|w|

よって、wは点(0,i)からの距離と原点からの距離が√2:1となる。

w=x+iyとして代入して計算すると、wは点(0,-i)を中心とした、半径√2の円となる。
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　以上が解答なのですが、なぜ|i-w| = √2|w|からwは点(0,-i)を中心とした、半径√2の円となるのかがよくわかりません。

　　|i-w| = √2|w|.
　　|i-w|^2 = (i-w)(-i-w~)
　　　　　　= 1 + wi - w~i + ww~.
　　(√2|w|)^2 = 2ww~.
　　2ww~ = 1 + wi - w~i + ww~.
　　-ww~ - w~i + wi + 1 = 0.
　　ww~ = - w~i + wi + 1.
　　|w-i|^2 = (w-i)(w~+i)
　　　　　　= ww~ - w~i + wi + 1
　　　　　　= 2ww~ = 2|w|^2
　ここで行き詰まってしまいました。

回答No.2

info33 · ベストアンサー

>-ww~ - w~i + wi + 1 = 0.

ここから

2 - (i +w)(-i +w~) = 0
(i +w)(-i +w~) = 2
(i+w) (i+w)~=2
|w+i |= √2
wは点(0,-i)を中心とした、半径√2の円。

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。心より感謝いたします。

回答No.1

gamma1854

zの共役複素数を conj(z) と書くことにします。
|w - i| = √2 * |w|. ですから、
|w - i|^2=2*|w|^2 ⇔ (w-i)*conj(w-i)=2*w*conj(w) ⇔
(w-i)*{conj(w)+i}=2*w*conj(w) ⇔ (w+i)*{conj(w)-i}=2 ⇔
|w+i|=√2.
と導かれます。

補足

早速の解答ありがとうございます。

　　(w-i)*{conj(w)+i} = 2*w*conj(w) ⇔ (w+i)*{conj(w)-i} = 2

の変形、つまり

　　(w-i)(w~+i) = 2ww~ ⇔ (w+i)(w~-i) = 2

がよくわかりません。

　　(w-i)(w~+i) = ww~ - w~i + wi + 1

を ww~ で割ればいいのかと思いましたが

1 - i/w + i/w~ + 1/ww~

となってしまいます。