高校数学 複素数の分数変換の問題です。

質問

w = 1/(z-i) によって z 平面上の円 |z| = 1(z≠i) は w 平面上のどんな図形に移るか。

　　w = 1/(z-i) ⇒ w ≠ 0 ・・・・・(1)
　　z - i = 1/w.
　　∴z = i+1/w = wi+1 ・・・・・(2)
　これを |z| = 1 に代入すると ,
　　|wi+1| = |w|.
　両辺を平方すると左辺は
　　|wi+1|^2 = (wi+1)(wi+1)~
　　　　　　 = (1+wi)(1-w~i)
　　　　　　 = 1 + wi - w~i - ww~i^2
　　　　　　 = ww~ + wi - w~i + 1
　右辺は ww~ なので
　　wi - w~i + 1
　= wi + (wi)~ + 1 = 0.
　　∴Re(wi) = -1/2 ・・・・・(3)
　wi を w を原点の周りに時計回りにπ/2 だけ回転すると w となるから
　　Im(w) = 1/2 ・・・・・(4)
で示される直線に移る。

　一応これでいいと思うのですが、(4)が(2)を、したがって(1)を満たすことはどうやって示せばいいのでしょうか。
　(4)はx-y平面なら y=1/2 に相当する直線なので
　　w = x + (1/2)i（x は任意の実数）
　　iw = ix - 1/2.
　これを(2)に代入すると
　　z = iw + 1 = ix - 1/2 + 1 = 1/2 + ix
となり 円 |z| = 1 になりそうもありません。どこがおかしいのでしょうか？

回答No.2

info33 · ベストアンサー

w=1/(z-i)=u+iv
z=i+1/w=x+iy
x=Re(z)=Re(1/w)=Re(1/(u+iv))=u/(u^2+v^2)
y=Im(z)=Im(i+1/w)=1+Im(1/(u+iv))=1-v/(u^2+v^2)=(u^2+v^2-v)/(u^2+v^2)

|z|^2=zz~=x^2+y^2={u^2+(u^2+v^2-v)^2} / (u^2+v^2)^2=1
u^2+(u^2+v^2-v)^2=(u^2+v^2)^2
u^2+v^2 -2v(u^2+v^2)=0
|w|^2=u^2+v^2 ≠0
1-2v=0
v=1/2
Im(w)=1/2 ・・・(4)

>(4)が(2)を、したがって(1)を満たすことはどうやって示せばいいのでしょうか。

勘違いしてませんか?

w = 1/(z-i) ...(1) つまり z = i+1/w ...(2)
によって w平面上の直線 Im(w)=1/2 ... (4)が z 平面上の 円 |z| = 1 に移るかを示せばいいのです。
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|z|^2=zz~=(i+1/w)(-i+1/w~)=1+1/(ww~)+i/w~ -i/w
=1+1/(u^2+v^2) +i(w-w~)/(u^2+v^2)
=1+1/(u^2+v^2) -(2v)/(u^2+v^2)
=1+(1-2v)/(u^2+v^2)
=1 (∵ Im(w)= v = 1/2 )

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

回答No.1

tmppassenger

(2)は、 z = i+1/w = (wi+1) / wですね

お礼

> (2)は、 z = i+1/w = (wi+1) / wですね
　あちゃー！　そうですね（笑）。すばやい回答まことにありがとうございました。お騒がせしました。