z平面をw平面に写像する1次写像w=(az+b)/

質問

z平面をw平面に写像する1次写像w=(az+b)/(cz+d)で、次の条件を満たす写像を求めなさい。ただし、a,b,c,dは複素数です。
(1)3点1-i,1+i,0を3点1+i,1-i,iに写像する。

この問題の途中式が全く分かりません。
途中式込みでよろしくお願いします。

回答No.2

178-tall

題意より、
　(1+i) = { a(1-i)+b }/{ c(1-i)+d }
　(1-i) = { a(1+i)+b }/{ c(1+i)+d }
　　i = b/d　→　d = -ib
　　　　↓
　(1+i){ c(1-i)-ib }-b = -ib + 2c = a(1-i)　　　　…(1)
　(1-i){ c(1+i)-ib }-b = -(2+i)b + 2c = a(1+i)　　…(2)
を得る。

(1)、(2) 右辺二項を連立させて {b, c} を解くと、
　( a は非零の任意定数)
　b = -ai
　c = a{ 1-(i/2) }
を得る。
また、
　d = -ib = -a

回答No.1

jcpmutura

z平面をw平面に写像する1次写像
w=(az+b)/(cz+d)…(1)
(1)
z=1-i
を
w=1+i
に写像するのだからこれを(1)に代入すると
1+i={(1-i)a+b}/{(1-i)c+d}
(1+i){(1-i)c+d}=(1-i)a+b
(1+i)(1-i)c+(1+i)d=(1-i)a+b
(1-i^2)c+(1+i)d=(1-i)a+b
2c+(1+i)d=(1-i)a+b…(2)

z=1+i
を
w=1-i
に写像するのだからこれを(1)に代入すると
1-i={(1+i)a+b}/{(1+i)c+d}
(1-i){(1+i)c+d}=(1+i)a+b
(1-i)(1+i)c+(1-i)d=(1+i)a+b
(1-i^2)c+(1-i)d=(1+i)a+b
2c+(1-i)d=(1+i)a+b…(3)

z=0
を
w=i
に写像するのだからこれを(1)に代入すると
i=(0+b)/(0+d)=b/d
id=b…(4)
これを(2)に代入すると
2c+(1+i)d=(1-i)a+id
2c+d+id=(1-i)a+id
2c+d=(1-i)a
(1+i)(2c+d)=(1+i)(1-i)a
(1+i)2c+(1+i)d=(1-i^2)a
2(1+i)c+(1+i)d=2a…(5)

(4)を(3)に代入すると
2c+(1-i)d=(1+i)a+id
2c+(1-i)d-id=(1+i)a
2c+(1-2i)d=(1+i)a
(1-i){2c+(1-2i)d}=(1-i)(1+i)a
(1-i)2c+(1-i)(1-2i)d=(1-i^2)a
(1-i)2c+(1+2i^2-3i)d=(1-i^2)a
(1-i)2c-(1+3i)d=2a…(6)
↓これと(5)から
2(1+i)c+(1+i)d=2(1-i)c-(1+3i)d
(1+i)d+(1+3i)d=2(1-i)c-2(1+i)c
(2+4i)d=-4ic
(1+2i)d=-2ic
i(1+2i)d=(-2i^2)c
(i+2i^2)d=2c
(i-2)d=2c
(i-2)d/2=c…(7)
↓これを(6)に代入すると
(1-i)(i-2)d-(1+3i)d=2a
{-1+3i-(1+3i)}d=2a
-2d=2a
-d=a
これと(4)と(7)を(1)に代入すると
w=(-dz+id)/[{(i-2)d/2}z+d]
w=2(-z+i)/{(i-2)z+2}
∴
w=(-2z+2i)/{(i-2)z+2}

a:b:c:d
=-2:2i:i-2:2
=2:-2i:2-i:-2
=4+2i:2-4i:3:-4-2i
だから
w=(2z-2i)/{(2-i)z-2}
でもよいし
w={(4+2i)z+2-4i}/(3z-4-2i)
でもよい