写像の問題について

質問

写像の問題が分かりません。どなたかわかる方、回答よろしくお願いします。

(1)関数w=z^l(lは正の実数)によって、ｚ平面上の領域0<argz<θはw平面上のどのような領域に写像されるか。
(2)z平面上の領域Ψ<argz<π-Ψ(０<Ψ<π/2)をw平面の上半面(0<argw<π)に写像する関数を求めよ。
(3)関数w=z+1/zによる、z平面の原点を起点とする半直線の写像を求めよ。また、この関数による写像がz=1で等角でないことを示せ。
(4)z平面上の領域x^2/cos^2Ψ-y^2/sin^2Ψ<4をw平面の上半面(0<argw<π)に写像する関数を求めよ。ただし、Ψは0<Ψ<π/2

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
w平面上の領域0<argw<lθに写像される。

(2)
Ψ<argz<π-Ψ
(π/2)-((π/2)-Ψ)<argz<(π/2)+((π/2)-Ψ)
-((π/2)-Ψ)<argz-(π/2)<(π/2)-Ψ
-1<(argz-(π/2))/((π/2)-Ψ)<1
-π/2<(argz-(π/2))(π/2)/((π/2)-Ψ)<π/2
-π/2<(argz-(π/2))/{(1-2(Ψ/π)}<π/2
argw+π/2=(argz-(π/2))/{(1-2(Ψ/π)}
argw=(argz-(π/2))/{(1-2(Ψ/π)}-(π/2)
=(argz+Ψ-π)/{(1-2(Ψ/π)}
∴w={z*exp(i(Ψ-π)}^{π/(π-2Ψ)} (iは虚数単位)

(3)
質問
>w=z+1/z
これは
w=z+(1/z)
w=(z+1)/z
のどちらですか?

前者であれば、半直線の傾きの角をΨと置くと
　写像は　u^2/cos^2(Ψ)-v^2/sin^2(Ψ)=4
となります。

>写像がz=1で等角でない
等角の定義は？

(4)
ヒント
(3)と(2)の逆の写像関数を使う。
計算が面倒だから自身でやってみて下さい。

お礼

回答ありがとうございました。質問なのですが、π/2を使って式変形をした意図はなんでしょうか。また、argw+π/2=(argz-(π/2))/{(1-2(Ψ/π)}はどうやって求めたのでしょうか。

回答No.2

alice_44

(1)
A No.1 でよいですね。ただし、
arg は 0≦arg＜2π の値をとるものとします。

(2)
z平面を 90度回転して、虚軸を実軸へ移すと
簡単になります。
w = ((z/i)の(π/(2Ψ))乗)i.

(3前半)
原点を起点とする半直線は、複素定数 ｜c｜=1 と
実バラメータ t≧0 を使って、z = ct と表せます。
これを w = z + 1/z へ代入すると、w = ct + 1/(ct).
w=x+yi, c=a+bi を代入して t を消去すると、
(x/a + y/b)(x/a - y/b) = 4 となります。
この式は、w 平面上の双曲線を表しますが、
t≧0 のため、双曲線の一葉だけが
質問の関数の像です。

(3後半)
等角写像 w=f(z) とは、z平面上と w平面上とで
曲線の交角を変えない f のこと。
複素数正則関数と同義だと誤解している文献を
よく見掛けますが、正しくは、
正則かつ微分係数が 0 でないこと が必要十分です。
今回の写像は、(dw/dz)[z=1] = 0 なので、
z=1 で等角ではありません。

補足

回答ありがとうございました。質問なのですが、w = ((z/i)の(π/(2Ψ))乗)i.はどうやって求めたのでしょうか。