複素関数～単位円を単位円に写像する変換について～

質問

複素関数で単位円を単位円に写像する変換についてお尋ねします。

z 平面の単位円周をω 平面の単位円周に写像する１次分数変換は，以下の（1）、（2）のいずれかの形で表されることが一般に知られているそうなのですが、(1)はわかるとして、（2)の特に分数の分母の部分になぜ (α^{*}・z － 1) が来るのかがよくわかりません。(αはz 平面の単位円周の中心を表していると思っています。)
もしも、わかられる方がおられれば、お教え頂けないでしょうか？

(1) ω = γ/z ( | γ | = 1)

(2) ω = γ(z － α)/(α^{*}・z － 1) ( | γ | = 1, | α | = 1, α^{*}はαの共役複素数)

何卒、よろしくお願いします。

回答No.1

f272

ω=(az+b)/(cz+d) ただしad-bc≠0とする。
a≠0かつc≠0とすると
ω=(a/c)(z-α)/(z-β) ただしα≠β
と書き直せる。|z|=1のときには，常に
|ω|=|a/c||z-α|/|z-β|=1
であって，
|z-α|：|z-β|=1:|a/c|
となる。すなわちzは2点α，βからの距離の比が1:|a/c|であるような図形であって，これは円である。このときα，βはこの円に関して鏡像の関係にある。一方，zは単位円周上にあるので，この円は単位円となる。つまりβ＝1/αである。
γ=(a/c)α' ただしα'はαの共役複素数
とすれば
ω=(a/c)(z-α)/(z-β)＝(a/c)α'(z-α)/(α’z-1)=γ(z-α)/(α’z-1)
と書き直せる。z=1のときに|ω|=1であるから
|ω|=|γ||z-1|/|α’-1|=|γ|=1
であって，
α≠β=1/α'よりαα'=|α'|^2≠1
である。

a=0やc=0のときは簡単なので省略します。