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準同型写像
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fが準同型写像であること f(a+b)=(a+b+mZ,a+b+nZ)=)=(a+mZ,a+nZ)+(b+mZ,b+nZ)=f(a)+f(b) kerfとは xがker fの元であること⇔x∈mZ,x∈nZとなるのことや⇔xがmとnの公倍数であること。 mとnの最小公倍数をkとしたときker f=kZ fが全射となる条件 準同型定理より Z/ker fとf(Z)は同型になる。 fが全射よりf(Z)=Z/mZ+Z/nZ Z/mZ+Z/nZの元はmn個あるから Z/ker fとf(Z)=Z/mZ+Z/nZが同型であるためには、ker f=mnZつまり、mとnの最小公倍数はmn、つまりmとnは互いに素であることがわかる。
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- mild_salt
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まず, 「準同形写像」「Ker」「全射」の定義を確認しましょう. 教科書（なければ図書館などを利用しましょう. このくらいの初等的な代数ならば, 大学などならばもちろん, 公立の図書館などでも手に入ると思います）はたくさんあります. あとは, 群G, Hの演算から, G+Hの演算がどのように定義されるのか, を確認しましょう. （この + は, 直積の意味なのでしょうか…?） ここまでが解れば, ヒントもなにも, ほぼすべきことは自明です. fが全射の条件, はちょっと慣れていないと難しいかもしれませんが, 整数の「約数」「互いに素」などのキーワード周辺の性質を理解していれば見えてくるはずです. （ヒントとしては, 例えば「中国式剰余定理」が役に立つかと思います.） mとnの言葉で答えよ, というのは, おそらく, Ker f = { ほにゃらら } のほにゃららの部分に, m, nが現れてもよい, という程度の意味かと思います.
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お礼
ありがとうございました！大変参考になります！