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準同型写像

m,n∈Nにおいて f:Z → Z/mZ + Z/nZ a → (a+mZ,b+nZ) とするとき、fは準同型写像であることを示せといわれましたが何を示せば良いかわかりません!あとKerfをmとnの言葉で答えよというものや、fが全射となる条件というのもさっぱりなのでヒントでもよいですから教えてもらえるとうれしいです!

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  • yoikagari
  • ベストアンサー率50% (87/171)
回答No.2

fが準同型写像であること f(a+b)=(a+b+mZ,a+b+nZ)=)=(a+mZ,a+nZ)+(b+mZ,b+nZ)=f(a)+f(b) kerfとは xがker fの元であること⇔x∈mZ,x∈nZとなるのことや⇔xがmとnの公倍数であること。 mとnの最小公倍数をkとしたときker f=kZ fが全射となる条件 準同型定理より Z/ker fとf(Z)は同型になる。 fが全射よりf(Z)=Z/mZ+Z/nZ Z/mZ+Z/nZの元はmn個あるから Z/ker fとf(Z)=Z/mZ+Z/nZが同型であるためには、ker f=mnZつまり、mとnの最小公倍数はmn、つまりmとnは互いに素であることがわかる。

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質問者

お礼

ありがとうございました!大変参考になります!

その他の回答 (1)

  • mild_salt
  • ベストアンサー率36% (14/38)
回答No.1

まず, 「準同形写像」「Ker」「全射」の定義を確認しましょう. 教科書(なければ図書館などを利用しましょう. このくらいの初等的な代数ならば, 大学などならばもちろん, 公立の図書館などでも手に入ると思います)はたくさんあります. あとは, 群G, Hの演算から, G+Hの演算がどのように定義されるのか, を確認しましょう. (この + は, 直積の意味なのでしょうか…?) ここまでが解れば, ヒントもなにも, ほぼすべきことは自明です. fが全射の条件, はちょっと慣れていないと難しいかもしれませんが, 整数の「約数」「互いに素」などのキーワード周辺の性質を理解していれば見えてくるはずです. (ヒントとしては, 例えば「中国式剰余定理」が役に立つかと思います.) mとnの言葉で答えよ, というのは, おそらく, Ker f = { ほにゃらら } のほにゃららの部分に, m, nが現れてもよい, という程度の意味かと思います.

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