写像が全然わからなくて困っています。

質問

写像が全然わからなくて困っています。

写像f : X → Y を考える．S ⊂ X, T ⊂ X かつU ⊂ Y, V ⊂ Y とする．以下の
ことを示せ．
1. S ⊂ T ⇒ f(S) ⊂ f(T)
2. U ⊂ V ⇒ f－1(U) ⊂ f－1(V )
3. f(S Ｕ T) = f(S)Ｕf(T)
4. f^－1(U Ｕ V ) = f^－1(U)Ｕf^－1(V )

これらを示す方法を詳しく教えてください。宜しくお願いします。

回答No.7

yamada_suzuki

この設問２の話なのですが、まず、対偶ではないから、必ずしも成立していないはずです。ですが、実例をかんがえると、とても苦労します。設問の命題も、「逆」に似ていますが少し違います。

１）「逆」では、なぜ命題が成立しないか、

A1 → X のとき、A1 以外の集合 A2 の存在可能性が有る（A2 → X）。この時、A2 以外の集合が存在するから、「逆」、つまり A1 ← X は、必ずしも成立しない。

２）この設問２における、逆とは、

A,B⊂X , f(A) = U , f(B) = V この時の命題、A⊂B→U⊂V について、「逆」とは、U⊂V→A⊂B で、これは必ずしも成立していない。だが、この設問では、U ⊂ V ⇒ f－1(U) ⊂ f－1(V ) とい命題だ。

３）逆写像について、

　まず、写像 f は、逆写像を必ずしも持つとは限らない。集合論は、任意の集合と変換を扱うからである。また、仮に f が必ず逆写像を持つとする。それは、f^-1(N) のＮについて、条件わけをする写像で、Ｎが全体集合の時、要素の数を少なくしてしまう演算や変換を行うとする。その、逆写像が f である。この場合、設問２の命題は成立していない。
　だが、逆写像のさらに逆が不存在だが、逆写像までは存在する、という写像の存在を許すと、上記の例は、信憑性が失せる。
　だが、集合論は、任意の集合に対する任意の写像や変換を論じる学問だから、最初の例、逆写像の不存在に対する可能性の指摘で、この設問２の命題は、十分否定できただろう。逆写像についての存否を、もっと研究すればいいと思う。

回答No.6

alice_44

←No.3 補足

f-1(U) を、f-1(U)={ x ｜ f(x)∈U } と定義すれば、
x∈f-1(U)　⇔　f(x)∈U　⇔　∃y∈U, f(x)=y　である。
同様に、x∈f-1(V)　⇔　∃y∈V, f(x)=y。

だから、U⊂V のとき、
x∈f-1(U)　⇒　∃y∈U, f(x)=y　⇒　∃y∈U⊂V, f(x)=y　⇒　x∈f-1(V)
が言えるでしょう？ それだけです。

命題 1. も同様に…

f(S)={ f(x) ｜ x∈S } との定義により、
y∈f(S)　⇔　∃x∈S, f(x)=y。

よって、S⊂T のとき、
y∈f(S)　⇒　∃x∈S, f(x)=y　⇒　∃x∈S⊂T, f(x)=y　⇒　y∈f(T)。
すなわち、f(S)⊂f(T)。

回答No.5

alice_44

命題 2. は、Vかつ非U の部分については
何も言っていないし、
U と f-1(U) を包含関係で比較しても意味がない。
X と Y が同じ例を挙げたから
混乱したのでは？

No.4 の図の例では、
U =｛ y=(xの偶数乗) ｝,
V =｛ y=(xの自然数乗) ｝
であって、
f-1(U) =｛ y=(xの奇数乗) ｝,
f-1(V) =｛ y=(xの自然数乗) ｝
だから、
f-1(U)⊂f-1(V) は成立している。

回答No.4

yamada_suzuki

設問の問２は対偶じゃないので、「必ず成立」にはならないはずです。

下の図の例では、左右の集合のどちらも、「関数値域が実数」と言う敷地境界線が外側に有ります。内側の敷地境界線は、「関数の値域が０か正」と言う集合です。写像は積分、だから逆の写像は微分です。左右の集合で、対応する関数は、内側と外側で入れ替わっています。

回答No.3

alice_44

疑問じゃなく、ヒントなんだが…

f は X→Y の写像だから、
f(x) の x に代入できるのは X の元だけで、
X の部分集合は代入できない。

ならば、f(S) の意味は何かと言うと、
慣習上、
f(S) =｛ f(x) ｜ x∈S ｝,
f-1(U) =｛ x ｜ f(x)∈U ｝
のように定義する。
黙って使わずに、ひとこと断らなくては
いけないのだが。

このように再定義した f は、X→Y ではなく、
Xの部分集合族→Yの部分集合族 の写像であり、
もとの f とは別のもの。
「集合写像としての f」などと呼ぶ。

この事情を理解すれば、
例えば 2. は、

U⊂V の条件下に、x∈f-1(U) であれば、
y=f(x), y∈U となる y があるのだから、
u⊂V より、y=f(x), y∈V でもある。
これは、f-1 の定義により、x∈f-1(V) てこと。
x∈f-1(U) ならば x∈f-1(V) が示せたのだから、
f-1(U)⊂f-1(V) である。

∈ と ⊂ の区別くらいわからないと、
この手の証明はできない。

補足

回答ありがとうございます。大変分かりやすくて理解も深まってきました。

ただ、f^(-1)の定義よりx∈f^(-1)(V)というのが分からないのです。

また、問1もどのように示せばよいのか分からないので簡単でよいので説明していただけたら嬉しいです。宜しくお願いします。

回答No.2

yamada_suzuki

問２について、

2. 　U ⊂ V ⇒ f－1(U) ⊂ f－1(V )

この、問２は成立しません。

集合には、逆、裏、対偶、があります。ところが問２は対偶になっていないので、多分、ひっかけ問題だと思います。

ＡならばＢの時、
　　　　　　　　　　Ａでないなら、Ｂでもない。　←　×　必ずしも成立しない。
　　　　　　　　　　ＢならばＡだ。　　　　　　　　←　×　必ずしも成立しない。
　　　　　　　　　　Ｂでないなら、Ａでもない。　←　○　（対偶）絶対に成立する。

　　............

例えば、

集合Ｘを、関数 y=x^n (nは正の整数） の値域とします。
　　　　集合Ｖ0を、関数 y=x^2 の値域とします。　→　集合Ｖ0は、０か正の実数の集合。
　　　　集合U0を、関数 y=x の値域とします。　→　集合Ｕ0は、全ての実数の集合。

写像 f を、積分とします。
　　　　詳しく定義すると、「関数の式を積分し、積分定数を０とする」、と言う演算とします。

集合Ｘを、関数 y=(1/n)・x^n (nは正の整数） の値域とします。
　　　　集合 Ｖ を、関数 y=(1/3)・x^3 の値域とします。　→　集合 Ｖ は、全ての実数の集合。
　　　　集合 U を、関数 y=(1/2)・x^2 の値域とします。　→　集合 Ｕ は、０か正の実数の集合。

この結果、u ⊂ V ですが、 f－1(u) ⊃ f－1(V ) となってしまいます。最初、集合 U0 は V0 より大きかったのに、写像　ｆ で演算（関数ではない！！）をすると、集合 U が V より小さくなってしまいます。

ここで注意したいのは、写像 f は、集合の対応ですから、関数こそが集合の対応とも考えられます。ですが、微分など演算の様に、数値と関数値との対応の変換をする対応、という写像の存在も考えてよいはずです。実際、質問者の問題では、f の事を、単に写像と呼び、関数とは言っていません。この様な、対応方法の変換をする演算には、微積分の他に、ラプラス変換や、演算子・微分演算子などがあります。

　記号の事ですが、alice_44 さんの疑問について。∈の意味は「集合に属する」、⊂の意味は「部分集合」、という事なので、質問者の表記の方法でも、必ずしも間違いとは言えないと思います。

回答No.1

alice_44

まづ最初に、f は X→Y の写像で、
S,T∈X ではなく S,T⊂X なのに、
ナゼ f(S),f(T) と書けるのか。
これらは、どのように定義されているか
…を説明してみて下さい。
それができれば、ほとんど解決です。

補足

その定義付けができなくて苦戦しています。
いろいろなサイトを見て参考になるものを探しているのですが、分かりません。
何か参考になるサイトをご存じでしたら教えていただけるとありがたいです、宜しくお願いします。