随伴写像の存在性の証明は?

質問

随伴写像についての質問です。

[随伴写像とは]
A∈L(V)({=f∈Map(V,V);f is linear}),∃1C∈L(V')(V'はF線形空間Vの双対空間);∀(x,y)∈V×V',y(Ax)=(Cy)(x)(∈F) (i.e. [Ax,y]=[x,Cy])
(⇔def)
C をAのadjoint(随伴写像)と言い、adjA:=Cと示す。

ここで
「A∈L(V)({=f∈Map(V,V);f is linear})に対して∀(x,y)∈V×V',y(Ax)=(Cy)(x)(∈F) (i.e. [Ax,y]=[x,Cy])
を満たすようなC∈L(V')(V'はF線形空間Vの双対空間)が一意的に存在する」
を示したいのですが
どうやって存在性を示せばいいかわかりません。
Cをどのように採ればいいのでしょうか?

回答No.8

k_m__ · ベストアンサー

Cy=CΣ[i=1..n] y_i f_i=Σ[i,j=1..n] y_i c_ij f_j より，
(Cy)x=(Σ[i,j=1..n] y_i c_ij f_j)(Σ[k=1..n] x_k v_k)=Σ[i,j] y_i c_ij x_j．
i, j を入れ替えても式の値は変わりませんので，(Cy)x=Σ[i,j=1..n] x_i c_ji y_j となります。

お礼

ご回答有難うございます。

> Cy=CΣ[i=1..n] y_i f_i=Σ[i,j=1..n] y_i c_ij f_j より，
> (Cy)x=(Σ[i,j=1..n] y_i c_ij f_j)(Σ[k=1..n] x_k v_k)=Σ[i,j] y_i c_ij x_j．
> i, j を入れ替えても式の値は変わりませんので，(Cy)x=Σ[i,j=1..n] x_i c_ji y_j となります。

(y_1 y_2 … y_n)(c_ij) t(f_1 f_2 … f_n)(x_1 x_2 … x_n) t(v_1 v_2 … v_n)
(tは転置行列を表す)
=(y_1 y_2 … y_n)(c_ij) (t(f_1 f_2 … f_n)(x_1 x_2 … x_n) t(v_1 v_2 … v_n))
(∵結合法則)
=(y_1 y_2 … y_n)(c_ij) t(f_1(Σ[i=1..n]x_i v_i) f_2(Σ[i=1..n]x_i v_i) … f_n(Σ[i=1..n]x_i v_i))
=(y_1 y_2 … y_n)(c_ij) t(Σ[i=1..n]x_i f_1(v_i) Σ[i=1..n]x_i f_2(v_i) … Σ[i=1..n]x_i f_n(v_i))
(∵f_1,f_2,…f_nは線形写像)
=(y_1 y_2 … y_n)(c_ij) t(x_1 x_2 … x_n) (∵f_1,f_2,…,f_nは双対基底)
=(x_1 x_2 … x_n)(c_ji) t(y_1 y_2 … y_n) (∵AB=(tA)(tB) (tは転置行列))

という具合に変形できるのですね。

y(A(x))=(x_1 x_2 … x_n) (a_ij) t(v_1 v_2 … v_n)
(C(y)(x)=(x_1 x_2 … x_n)(c_ji) t(y_1 y_2 … y_n)

よって (c_ji)=(a_ij)
∴(c_ij=(a_ji)
∴C=tA
と表せるのですね。＼(＾o＾)／

回答No.7

k_m__

ANo.6 の御回答のにある (2) 式と (4) 式は（正しかったとしても）このままでは比較しづらい形です。
(Cy)x も，y(Ax)=Σ[i,j=1,..,n] x_i a_ij y_j と同様に，x_i や y_j を用いた和の式に書き換えてみて下さい。
その結果得られた式と y(Ax) の式とを見比べれば，c_ij をどのように取るべきか，自ずとわかるはずです。

お礼

お手数お掛けしております。すみません。

> (Cy)x も，y(Ax)=Σ[i,j=1,..,n] x_i a_ij y_j と同様に，x_i や y_j を用いた和
> の式に書き換えてみて下さい。

それが(4)の
(C(y))(x)=((y_1 y_2 … y_n) (c_ij) t(f_1 f_2 … f_n)) (Σ[i=1..n]x_i
v_i)
なのです。

> その結果得られた式と y(Ax) の式とを見比べれば，
> c_ij をどのように取るべきか，
> 自ずとわかるはずです。

すいません。どうしても分かりません。
どのように採ればいいのでしょうか?

回答No.6

k_m__

ANo.1 の回答へのお礼に書かれたことを思い出して下さい。

A(v_i)=Σ[j=1..n] aij v_j および A の線形性より，
AΣ[i=1..n]x_i v_i = Σ[i=1..n] A(x_i v_i) = Σ[i=1..n] x_i A v_i = Σ[i=1..n] x_i Σ[j=1..n] a_ij v_j
となります。そして最後に和を
Σ[i=1..n] x_i Σ[j=1..n] a_ij v_j = Σ[i,j=1..n] x_i a_ij v_j
とコンパクトにまとめれば完了です。

お礼

ご回答有難うございます。遅くなりまして申し訳有りません。

> A(v_i)=Σ[j=1..n] aij v_j および A の線形性より，
：
> とコンパクトにまとめれば完了です。

A(v_i)=Σ[j=1..n]a_ij v_j (A∈L(V),v_i∈V,a_ij∈F) …(1)
と書ける(∵VからVへの線形写像Aの定義)。

よって, A(x)=A(Σ[i=1..n]x_i v_i) (x_i∈F) (∵x∈span{v_1,v_2,…,v_n})
=Σ[i=1..n]A(x_i v_i) (∵A is linear)
=Σ[i=1..n]x_i A(v_i) (∵A is linear)
=Σ[i=1..n]x_i Σ[j=1..n]a_ij v_j (∵(1))
=x_1(a_11 a_12 … a_1n) t(v_1 v_2 … v_n)
+x_2(a_21 a_22 … a_2n) t(v_1 v_2 … v_n)
…
+x_n(a_n1 a_n2 … a_nn) t(v_1 v_2 … v_n)
=(x_1 x_2 … x_n) (a_ij) t(v_1 v_2 … v_n) ((a_ij)は各成分がFのn×n行列を表す)

従って,
y(A(x))=(Σ[i=1..n]y_i f_i) ((x_1 x_2 … x_n) (a_ij) t(v_1 v_2 … v_n)) …(2)
(y_i∈F) (∵y∈span{f_1,f_2,…,f_n})

> 同様にして (Cy)(x) を表して下さい。

C(f_i)=Σ[j=1..n]c_ij f_j (C∈L(V'),V'∋f_i:双対基底,c_ij∈F) …(3)
と書ける(∵V'からV'への線形写像Cの定義)。

よって, C(y)=C(Σ[i=1..n]y_i f_i) (y_i∈F) (∵y∈span{f_1,f_2,…,f_n})
=Σ[i=1..n]C(y_i f_i) (∵C is linear)
=Σ[i=1..n]y_i C(f_i) (∵C is linear)
=Σ[i=1..n]y_i Σ[j=1..n]c_ij f_j (∵(3))
=y_1(c_11 c_12 … c_1n) t(f_1 f_2 … f_n)
+y_2(c_21 c_22 … c_2n) t(f_1 f_2 … f_n)
…
+y_n(c_n1 c_n2 … c_nn) t(f_1 f_2 … f_n)
=(y_1 y_2 … y_n) (c_ij) t(f_1 f_2 … f_n) ((c_ij)は各成分がFのn×n行列を表す)

従って,
(C(y))(x)=((y_1 y_2 … y_n) (c_ij) t(f_1 f_2 … f_n)) (Σ[i=1..n]x_i v_i) …(4)

(2),(4)からy(A(x))=(Cy)(x)は
(Σ[i=1..n]y_i f_i) ((x_1 x_2 … x_n) (a_ij) t(v_1 v_2 … v_n))
=((y_1 y_2 … y_n) (c_ij) t(f_1 f_2 … f_n)) (Σ[i=1..n]x_i v_i)

と相変わらずCを表せない状態から先に進めません。
これからどうやって
(c_ij)=?
の形に変形できますでしょうか?

回答No.5

k_m__

一意性の証明はそれでいいと思います。
（内積空間の場合の証明とは本質的に異なります。）

これで，V の基底の取り方によって，構成できる C の表現が変わっても，どれも L(V '×V ') の元としては同一のものであることが保証されます。

あとは，y(Ax)=(Σ(k)y[k]f[k])(AΣx[i]v[i])=(Σy[k]f[k])(Σ(i,j)x[i]a[ij]v[j])
=Σ(i,j,k)y[k]x[i]a[ij]f[k](v[j])=Σ(i,j,k)y[k]x[i]a[ij]δ[kj]=Σ(i,j)x[i]a[ij]y[j]
という計算と同様にして (Cy)(x) を表して下さい。
両者の式を見比べれば，C のこの基底における表現行列をどう選べばよいかわかると思います。

お礼

お手数お掛けしております。

> あとは，
> y(Ax)=(Σ(k)y[k]f[k])(AΣx[i]v[i])

y[k],x[i]はFの元なのですね。

> =(Σy[k]f[k])(Σ(i,j)x[i]a[ij]v[j])

ここの部分が分かりません。どうしてAΣx[i]v[i]からΣ(i,j)x[i]a[ij]v[j]
つまり、AΣ[i=1..n]x_i v_iからΣ[i,j=1..n]x_i a_ij v_j
と変形できるのでしょうか(AはL(V)の元ですよね。つまり,VからVへの線形写像)?

ご解説お願い致します。m(＿ ＿)m

回答No.4

k_m__

教科書あるいはノートの内容を勝手に要約せずに正確に引用するという Nnarumi さんの姿勢は，無用な混乱を省く効果があるという点で私は賛成です。
ただし，次の二点に留意してくださるとなおよいと思います。

・引用文の範囲を明確にする。
・必要な部分のみを引用する。

これらのことを既に心がけていらっしゃるようにも見受けられますが，ANo.1，ANo.2のお礼が私には読みづらかったので，敢えて指摘させていただきました。

本題についてですが，「C が存在すること」と「C が一意であること」を分けて証明するという方針はいかがでしょうか。
存在の証明は基底を使わざるを得ない気がします。
それに対し，一意性の証明は基底を使わずに証明できます。

というわけで，まずは随伴写像の一意性の証明を考えてみて下さい。

お礼

御回答誠に有難うございます。

> 教科書あるいはノートの内容を勝手に要約せずに正確に引用するという Nnarumi さ
> んの姿勢は，無用な混乱を省く効果があるという点で私は賛成です。
> ただし，次の二点に留意してくださるとなおよいと思います。

どうも有り難うございます。

> 本題についてですが，「C が存在すること」と「C が一意であること」を分けて証明
> するという方針はいかがでしょうか。

そうですね。二段階に分けて証明するのが混乱しないかとおもいます。

> 存在の証明は基底を使わざるを得ない気がします。

ええと、
Vの基底を{v1,v2,…,vn}、V'の基底をVの双対基底{f1,f2,…,fn}にとる
即ち,fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)
そして、、、
ここから先はどのように書けますでしょうか??

> それに対し，一意性の証明は基底を使わずに証明できます。
> というわけで，まずは随伴写像の一意性の証明を考えてみて下さい。

とりあえず,存在性の証明が完了したとして、、
∃C,D∈L(V');[x,Cy]=[Ax,y]且つ[x,Dy]=[Ax,y]
これから(Cy)x=(Dy)xと書け、写像の相等の定義からCy=Dy
再度,写像の相等の定義からC=D
よって一意性の証明完了。

で宜しいでしょうか。

回答No.3

ojisan7

「双対空間について理解している」といって、双対空間の定義を述べていますが、それは表面的な理解です。数学では、表面的なことより、本質を理解することが大切です。
私が心配しているのは、「双対空間」を「内積」との関連性で理解できているかどうかということです。このことについては、線形空間の入門書やサイト等で調べることができますね。

回答No.2

ojisan7

線形空間の双対空間については理解していますか？
数学の講義では、教官が黒板に記号で書くことが多いですよね。たとえば、
>A∈L(V)({=f∈Map(V,V);・・・(⇔def)C をAのadjoint(随伴写像)と言い、adjA:=Cと示す。
ですね。教官は言葉で書くのが長く、面倒なので、記号で書くのです。でも、聴講している学生が意味不明であれば、無意味な記号の羅列ですね。このカテには、記号だけ書いて質問する人をよく見かけますが、そのような質問者はたいてい、数学の内容が理解できず、消化不良に陥っている場合が多いのです。
ご質問の「随伴写像の一意性」については、たいていの教科書に掲載されていますので、教科書をよく読んでください。サイトでは、下記参考ＵＲＬの定理3.12です。そこでは、「双対空間」という用語は使用していませんが、「双対空間」とは何か、ということが正しく理解できていれば、あとは、あなたの証明の記述の表現力の問題です。がんばってくださいね。

参考URL：

http://www.las.osakafu-u.ac.jp/~yamaguti/jugyo/linalg/linalg3.pdf

お礼

> 線形空間の双対空間については理解していますか？

はい理解しております。
n次元F線形空間VからFへの線形写像全体からなる集合をV'と表すと、
このV'に線形写像の和とスラカー倍を定義すればV'も線形空間となる。
この時、V'をVの双対空間と呼ぶ。
Vの一組の基底を{v1,v2,…,vn}とし、fi(vj)=δijで定めるV'⊃{f1,f2,…,fn}はV'の基底になる。この基底{f1,f2,…,fn}をV'の双対基底と呼ぶ。
ですよね。

> で、教科書をよく読んでください。サイトでは、下記参考ＵＲＬの定理3.12です。そ
> こでは、「双対空間」という用語は使用していませんが

ご紹介有難うございます。
ご紹介いただいた定理3.12は内積空間である事が仮定されるているようです。

今回私が提示した
「A∈L(V)({=f∈Map(V,V);f is linear})に対して∀(x,y)∈V×V',y(Ax)=(Cy)(x)(∈F) (i.e. [Ax,y]=[x,Cy])
を満たすようなC∈L(V')(V'はF線形空間Vの双対空間)が一意的に存在する」
では内積空間であることは仮定してないのですが、、、
この場合どうすればいいのでしょうか?

回答No.1

k_m__

V が有限次元線形空間であると仮定して回答します。
V の基底をひとつ固定し，それに基づいて考察すると楽だと思います。
固定された基底を用いた A の行列表現が利用できるからです。

お礼

> V が有限次元線形空間であると仮定して回答します。
> V の基底をひとつ固定し，

Vをn次元としてその基底を[v1,v2,…,vn]と固定して考えます。

>それに基づいて考察すると楽だと思います。
> 固定された基底を用いた A の行列表現が利用できるからです。

エーと表現行列とは

『n次元F線形空間Vの基底を{v1,v2,…,vn}とし、map g:V→F^nを
V∋∀Σ[i=1..n]civi→g(Σ[i=1..n]civi):=t(c1,c2,…,cn) (tは転値行列を表す)
でgを与えるとgは同型写像となる。
ここで{v1,v2,…,vn}の順序を変えるとgは別物になってしまうのでこの順序を込めた
基底
{v1,v2,…vn}をβ:=[v1,v2,…,vn]と表す事にし、このgをβによって決まる同型写像
と呼ぶ事にする。
m次元F線形空間Wの基底をβ':=[w1,w2,…,wm]によって決まる同型写像をh:W→F^mと
し、
線形写像f:V→Wに対し、合成写像hfg^-1:F^n→F^mは線形写像となる。
f∈L(V,W)(:VからWへの線形写像全体の集合)に対し、行列A∈F^(m×n)が決まる。
ここでA=:(aij)は
f(vj)=Σ[i=1..m]aijwi (j=1,2,…n) の係数を成分とする行列として与えられる。
この行列A=:(aij)(∈F^(m×n))を基底β,β'で与えられる表現行列と呼び、
[f]_β_β'と表記する。
特にW=Vつまり、f∈L(V)(=L(V,V))という線形変換の場合でβ=β'はこの行列
A=:(aij)(∈F^(n×n))を基底βで与えられる表現行列と呼び、[f]_βと表記する』

ですよね。

それでは今件の
固定されたVの基底を[v1,v2,…,vn]
線形写像 A:V(=span[v1,v2,…,vn])→V(=span[v1,v2,…,vn])
としてみるとその行列表現は
行列表現とは始集合のF線形空間Vの基底[v1,v2,…,vn]=:βと終集合のF線形空間Vの基底βとし、A∈L(V,V)において
A(vj)=Σ[i=1..m]aijvi (j=1,2,…,n)で定まる行列(aij)を
βのAによる行列表現といい[A]_βとも表したりもする。

とまでわかりましたが
うーん、これからC∈L(V')をどのように採ればいいのでしょうか?