線形代数学 対角可能に関しての質問です。

質問

ｆ：Ｖ→Ｖ 線形写像 でｆが対角化可能とは
(i） Ｖのある基底に関する表現行列が対角化行列になること。
（ii） Ｖの任意の基底に関する表現行列が対角化可能であること。

(ii)⇒(i)の証明です。

詳しい解説よろしくお願いします

回答No.4

Tacosan

補足するなら
「行列が対角化可能」
をどう定義しているのかを補足してほしかった.

回答No.3

kabaokaba

ああ，ほんとだ>#1

対角化行列ってなんだろ
これを「対角行列」に置き換えればいいのかな

となると，「行列が対角化可能」であるとはどういう定義かってことが
問題の焦点になるんだけど・・・
普通の D=P^{-1}AQ^{-1} みたいな定義なら
それで終りのような気がする．

補足

丁寧に回答ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

や, (i) と (ii) では表現が微妙に違うのでそれではダメです＞#1. まあ誤解してもしょうがないかなという文面ですが. 普通「対角化行列」なんて言わんし.

さておき, (ii) から (i) を示すなら「行列が対角化可能」とはどういうことかをきちんと与える必要があります. 本当は「線形写像が対角化可能」とか「線形写像の (ある基底に関する) 表現行列」とかも必要なんだけど, そこは周知ということで置いておこう.

補足

すみません、自分のタイプミスでした。
本当は「対角行列」です。
また、回答ありがとうございます。

回答No.1

kabaokaba

(ii)で
「任意の基底」に関して「対角化可能」なんだから
どんな基底でもOKってことで
「ある基底」でも「対角化可能」
いわゆる「全称例化」です．任意のものでOKなら特定のものでもOKってこと．