固有の量とは何ですか？

質問

K上の有限次元線形空間Ｖに対して、写像f:V→Vは線形写像。
Ｖの基底εに対する、fの表現行列をAと表すとき、
(1)det(A)
(2)Tr(A)
(3)rank(A)
が基底εのとり方によらず定まるということを線形変換fの固有の量
であるとのことなのですが、いまいち固有の量というものがイメージ
できません固有の量とはなんなのでしょうか。
そして、なぜとり方にやらないのでしょうか？

回答No.3

gatch_ky · ベストアンサー

基底を変換する行列をPとすると、（Pはもちろん正則）
基底変換Pによって表現行列は
A　→　P^(-1) A P
になる。
(1)det(P^(-1) A P) = det(A)
(2)Tr(P^(-1) A P) = Tr(A)
(3)rank(P^(-1) A P) = rank(A)

基底を変えても変わらないでしょう。

お礼

たしかに、基底変換しても変わりませんね。
ありがとうございました。

回答No.2

hiccup

線形変換 f の基底 ε に対する表現行列を A、基底 ε' に対する表現行列を A' とすると
det(A) = det(A')
Tr(A) = Tr(A')
rank(A) = rank(A')
が成り立ちます。これは、表現行列は変わっても、これらは基底の選び方によらず変わらない量であるということです。つまり、f 自身がが持っている量であり、f を特徴づけると思われる特別な量ということです。

次元も基底の取り方によらず定まる量で、次元が同じ線形空間はみな同型（逆も真）という線形空間を特徴づけるものでした。

回答No.1

rabbit_cat

文字通り、「基底εのとり方によらず定まる」ってことです。

なんていうか、基底fのとり方によらないで定まるってことは、つまり、観察の仕方によらず誰がどうみても、同じ結果が得られるってことですから、写像fの固有の量という表現は非常にぴったりだと思いますが。
そうですね。例えば、古典力学だと、例えば地面に対して140km/hで飛んでいるボールの速度は、地上から見れば、140km/hでしょうけど、60km/hで動いている電車の中から見ると200km/hに見えるかもしれませんし、宇宙から見ると（地球の自転分が加わるので）1500km/hくらいにみえるかもしれません。見る人によって変わってしまいますから、速度はボールに固有の量ではありません。
一方で、飛んでいるボールの質量は、誰が見ても同じに見えます。つまり質量はボールに固有の量です。

写像に固有の量というのも、まさに見る人によらず（＝基底によらず）に決まる量、という意味です。

お礼

わ、わ、わ、わかりやすいです。だから固有なんですね。
ありがとうございました。