松坂『線形代数入門』：表現行列の標準系

質問

本書のp205の命題６．１０
V,Wをそれぞれn次元、m次元のベクトル空間とし、F：V→Wを線形写像とする。Fの階数がｒならば、V、Wの基底α、βを適当に選んで、Fを次の形の行列で表現することができる
[I_r O_r,n-r
Om-r,r Om-r,n-r]

I_rはr次の単位行列、Oはそれぞれ付記された添数の型の零行列を表す。

r次の単位行列を０で埋めてm*nにした行列です。

教科書の証明は

KerFはn-r次元であるから、その基底を｛v_r+1,...,v_n}とするとして、
それを拡張したVの基底を{v_1,...,v_r,v_r+1,...,v_n}とするそのとき
F(v_1)=w_1, ..., F(v_r)=w_r
とおけば、{w_1, ... , w_r}はImFの基底となる。
そこで{w_1, ... , w_r}を拡張したWの基底を{w_1, ... , w_r , w_r+1, ... ,w_n}とすれば
F(v_r+1)=0 , ... ,F(v_n)=0　より表現行列は明らかに上で示した形になる。

なぜこれで示せているのかわからないです…

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

ひとつづつ…というか、
V の元を基底ベクトルの一次結合で表して
(成分表示って、そういうこと)、F で写像すれば、
F の線型性から、ひとつづつ写すのも
まとめて写すのも大差無いことになって、
要するに F の表現行列の成分が求められる
と。

お礼

ありがとうございます。わかりました！

回答No.2

alice_44

V のベクトルを基底 { v_1, …, v_r, v_r+1, …, v_n } 上で、
W のベクトルを基底 { w_1, …, w_r, w_r+1, …, w_n } 上で
それぞれ成分表示して、
F の表現行列がどうなるか、実際に書いてみればいいじゃない。

お礼

いつも回答ありがとうございます。
んー、係数を比較するってことですかね？
いまいちわかりません。

補足

あっなんとなくわかったかもです。
Vの元をひとつずつ飛ばして
v_1がw_1になるようにaの成分を定めていくってかんじであってますかね？

回答No.1

Tacosan

どこまでわかってどこで詰まっているんでしょうか?

お礼

回答ありがとうございます
『表現行列は明らかに上で示した形になる。』この部分がわかりません。