教えてください。

質問

夏休み明けのテストで課題の類似問題が出るといわれているのですがその課題の解き方がよく分かりません。解き方を教えてください。

・（１）R^(3)において、次は基底になることを示せ。
　　　　　　A={v_1=(-1,1,0) , v_2=(3,-1,0) , v_3=(1,2,-1)}
（２）R^(3)の線型変換φが、次を満たすとき、φは同型であることを示せ
　　　　　　φ(v_1)=(1,0,0) , φ(v_2)=(4,2,0) , φ(v_3)=(5,6,3)
（３）基底Ａに関するφ（3,２,-1）の座標を求めよ

・（１）R^(3)において、次は基底になることを示せ
　　　　　　u=(1,1,0) , v=(2,1,1) , w=(3,1,1)
（２）R^(3)の線型変換φを
　　　　　　φ(x,y,z)=(2x -y+z , -3y+5z , x+y+2z)
　　　 と定めるとき、基底Ａ={u,v,w}に関するφの表現行列を求めよ
（３）R^(3)の基本基底からＡへの基底変換の行列を求めよ
（４）φは同型であることを示せ

以上です。両方とも（１）についてはなんとなく解くことができるのですがそれ以降の問題ができません。特に行列に示すところが分かっていないのでその辺を中心に教えてもらえたらと思います。お願いします。

回答No.1

hismix · ベストアンサー

１は基底の定義をチェックしてあげればいいですね
これはできるでしょう。
２はφが同型であるか。
同型の定義はいいですか？
いろいろあるんですが、今回の場合は実際にこのφが行列で表現できるので
その表現行列が正則であることを示してあげればいいです
つまり基底ｖ１ｖ２ｖ３に関するこの写像の表現行列をＢとおくと
Ｂ＝
（１４５
０２６
００３）
ですね。
この行列のrankが３であればいいわけです
実際これは簡単にしめせます。よってＯＫ

３は基底Ａによるφ（3,２,-1）の座標を求めよ
（３，２、－１）＝ｘｖ１＋ｙｖ２＋ｚｖ３として
ｘ、ｙ、ｚを求めると
ｚ＝１、ｘ＝ｙ＝１
よって（３，２、－１）＝ｖ１＋ｖ２＋ｖ３と書けます
するとφの線形性より
φ（3,２,-1）＝φ（ｖ１＋ｖ２＋ｖ３）
＝φ（ｖ１）＋φ（ｖ２）＋φ（ｖ３）
＝（１００）＋（４２０）＋（５６３）
＝（１０、８、３）

よってまた同じ方法で
（１０、８、３）＝ｘｖ１＋ｙｖ２＋ｚｖ３として
ｘ、ｙ、ｚを求めるれば求まった（ｘ、ｙ、ｚ）がＡの基底に座標です
計算は最後略しました。すいません

で２問目。
１はいいですね。

２をやります。
基底Ａ={u,v,w}に関するφの表現行列をＢとおくと
φ（u、ｖ、ｗ）＝B（う、ｖ、ｗ）となっています
注意：ここでは行列はすべて縦ベクトルとします。これが横ベクトルのときはBは右からかけることになります。

このBを求めればいいんです。
φ（う）、φ（ｖ）、φ（ｗ）は計算により求まりますね
よってそれをならべた３×３行列が求めるBです

３をやります。
R^(3)の基本基底からＡへの基底変換の行列をCとおくと
C(e1,e2,e3)=A
ここでe1,e2,e3は標準基底です
これは両辺を比べてやれば簡単ですね
C＝（
－１３１
１－１２
００－１
）

４はさっきと同じです
φがすでに２で基底Ａ={u,v,w}に関して表現されてますので
その行列のrankが３であることをいえばいいのです。

何かわからないことがあればまた聞いてください

補足

φ（u）、φ（ｖ）、φ（ｗ）は計算により求まりますね
よってそれをならべた３×３行列が求めるBです。
自分が深く考えているだけかもしれないのですが上のところがよく理解できません。計算するとはどういうことですか？

回答No.2

hismix

１つ訂正があります。すいません。
今ぼくはuとかvとかは縦ベクトルだと思い込んでいたので
Ｂを左からかけていましたが、これらは横ベクトルでしたね
ですから
φt（u、ｖ、ｗ）＝t（u、ｖ、ｗ）Ｂ・・・☆
とさせてもらいます。
ここでt(・・・)というのは（・・・）の表示を縦にかきなおすという記号で
この場合はu、ｖ、ｗを３×１行列としてみたものとします
（なぜ縦や横にこだわっているのかわからなければ無視して構いません
　そんなに本質的なことではないので。）

＞φ（u）、φ（ｖ）、φ（ｗ）は計算により求まりますね
実際に書いたほうがわかりやすかったですね。すいません。
φ（u）＝φ（１，１，０）
今φ(x,y,z)=(2x -y+z , -3y+5z , x+y+2z)だったので
x=1,y=1,z=0を代入してやれば
φ（u）＝φ（１，１，０）
＝（１、－３，２）
という具合に計算します

φt（u、ｖ、ｗ）っていうのは
３×１行列で成分は上から順にφ（u）、φ（ｖ）、φ（ｗ）なるものです
そうすると☆の左辺は具体的にもとまったわけです
後はＢの成分を文字でおくなりしてこの☆の方程式を解いてやればいいのです

＞よってそれをならべた３×３行列が求めるBです
これは誤解を与えて当たり前の書き方でした
すいません。上のように求めることを早口でいったらこんな風になっちゃいました笑

またわからないことがあったらきいてください