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多変数関数の上限と下限

次の F(x,y,z)=2x^2+2y^2+z^2+2xy-4xz-4yz という２次の３変数関数について、 F(x,y,z)/(x^2+y^2+z^2) ((x,y,z)≠(0,0,0)) -----------(1) の上限、下限を求めたいのですが、途中からわからなくなってしまい、投稿いたしました。 まず、 F(x,y,z)=(x y z)A(t(x y z)) というように、行列表示にしました。ただし、 　 |2 1 -2| A= |1 2 -2| 　 |-2 -2 1| です。ここで、Aは実対称行列であり、直行行列Pを用いて対角化しました。Aの固有値はλ=1,-1,5ですので、F(x,y,z)を標準化し、 G(u,v,w)=-u^2+v^2+5w^2 という形にしました。また、(1)式の分母も、u^2+v^2+w^2という形に変換できると思いますので、(1)式は G(u,v,w)/(u^2+v^2+w^2) ((u,v,w)≠(0,0,0)) -----------(2) という(2)の上限、下限を求めればよいとなると思います。 上記のとこまで変換できたのですが、肝心の上限下限をもとめることができません。どなたかご教授していただけないでしょうか？よろしくお願いします。

みんなの回答

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.3

ど～でもいいけど, G(u, v, w) は間違ってるよね. G(u, v, w) = u^2-v^2+5w^2 か? さておき -u^2-v^2-w^2 ≦ G(u, v, w) ≦ 5u^2+5v^2+5w^2 はほぼ自明だと思うんだがなぁ.

umakayui
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。間違いのご指摘ありがとうございます。 -u^2-v^2-w^2 ≦ G(u, v, w) ≦ 5u^2+5v^2+5w^2 というのは自明なのですか？調べてみます。ありがとうございます。

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  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.2

ヒント 参考URLにある三次元の極座標の球座標(r,θ,φ)変換 x=r sinθcosφ y=r sinθsinφ z=r cosθ (0≦θ≦2π,-π≦θ＜π,0＜r＜∞) をしてみてください。 評価関数はrが消えて、f(θ,φ)の関数となります。 最小値-1,最大値5が出てきます。 まず、やってみてください。 分からなければ、やった解答の経過の式を補足に書いて、分からない箇所を補足質問して下さい。

参考URL：
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB
umakayui
質問者

お礼

遅くなりましたが、ご回答ありがとうございます。 球座標に変換して考えればよいのですね。的確なアドバイスを頂まして、ありがとうございます。

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  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.1

なぜ、(2) まで行って、その後で悩むのでしょうか？ (u,v,w) を、更に、球面座標で u = r (cosθ) (cosφ) v = r (cosθ) (sinφ) w = r (sinθ) と、変数変換してみましょう。

umakayui
質問者

お礼

返事のほうが遅くなりまして、申し訳ございませんでした。 問題のことですが、極値等を求めていくと考えておりましたので、球座標のことは頭にありませんでした。再考してみたいと思います。ご指摘ありがとうございます。

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