３５数C行列の問題

質問

行列A＝（１行→a,b ２行→c,d）がA＾２－A-2E＝Oを満たしているとき、a+d,ad-bcの値を求めよ。

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

Hamilton-Cayleyの定理より

(1)A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O

これと条件

(2)A^2-A-2E=O

により，(2)-(1)を計算すると，

(a+d-1)A-(ad-bc+2)E=O

※(a+d-1)A=(ad-bc+2)E

☆a+d-1≠0のときk=(ad-bc+2)/(a+d-1)とおくと※は

A=kE
∴a=d=k,b=c=0
∴a+d=2k,ad-bc=k^2

a+d-1=2k-1≠0よりk≠1/2で

k=(k^2+2)/(2k-1)
k(2k-1)=k^2+2
k^2-k-2=(k+1)(k-2)=0
∴k=-1,2(k≠1/2を満たす)
∴a+d=2k=-2,4,ad-bc=k^2=1,4

★a+d-1=0のとき，※は

O=(ad-bc+2)E
∴ad-bc+2=0

こうして

a+d=1,ad-bc=-2

以上から

(a+d,ad-bc)=(-2,1),(4,4),(1,-2)（答）

回答No.2

aries_1

行列Aは問題の条件と同じとします。
またEは単位行列、Ｏは零行列とします。

ハミルトン・ケーリーの法則の定義:A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=Ｏ…(1)
条件より、A^2-A-2E=Ｏ…(2)

(1)(2)の係数を比較すると…

後は出来ますよね？

回答No.1

noname#171951

素直に計算してください。