- ベストアンサー
行列
行列A＝（a b)で表される1次変換fによって点(1,2)が点(5,5)に移りfの (c d) 逆変換(f＾(-1))によって点(2,4)が点(0,1)に移るときcの値を求める問題です。 解くと a＋2b=5 c＋2d=5 逆数より d-2b=0 -2c＋4a=ad-bc からどのように計算をすれば求められるか教えてください。
- みんなの回答 （7）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
此の問題は、逆行列は使わない方が良いです。 ０ １ ｄ －ｂ ２ ーーーー １ ａｄ－ｂｃ －ｃ ａ ４ ０＝（２ｄ－４ｂ）／（ａｄ－ｂｃ） ０＝（２ｄ－４ｂ） １＝（－２ｃ＋４ａ）／（ａｄ－ｂｃ） （ａｄ－ｂｃ）＝（－２ｃ＋４ａ） ５＝ａ＋２ｂ → ａ＝５－２ｂ ５＝ｃ＋２ｄ → ｃ＝５－２ｄ → ｃ＝５－４ｂ ０＝ｄ－２ｂ → ｄ＝２ｂ ａｄ－ｂｃ＝－２ｃ＋４ａ （５－２ｂ）２ｂ－ｂ（５－４ｂ）＝－２（５－４ｂ）＋４（５－２ｂ） １０ｂ－４（ｂ＾２）ー５ｂ＋４（ｂ＾２）＝－１０＋８ｂ＋２０－８ｂ １０ｂー５ｂ＝－１０＋２０ ５ｂ＝１０ ｂ＝２、ａ＝１、ｃ＝－３、ｄ＝４、で算出できますが、 ーーーー 意味を考えると ↓ になります。計算が容易になります。 ↓ ↓ ５ ａｂ １ ， ２ ａｂ ０ ５ ｃｄ ２ ， ４ ｃｄ １ －－－ ５＝ａ＋２ｂ， ２＝ｂ ５＝ｃ＋２ｄ， ４＝ｄ －－－ ５＝ａ＋４ → ａ＝１ ５＝ｃ＋８ → ｃ＝ー３ ａｂ 、 １ ２ ｃｄ は、 ー３ ４ ーーーー
その他の回答 (6)
- BASKETMM
- ベストアンサー率29% (240/806)
答えると言うより、一緒に勉強させて下さい。解き方には楽な方法、見通しのよい方法、エレガントな方法があると思います。専門外の私には、先ず見通しのよい方法が必要と考えました。 １）一次変換 A を確定する問題ですから、 A = (a b) ....(c d) を確定することが要求されています。 ２）未知数が abcd の４個です。そこで方程式を４個探すことにします。 ３）一つのベクトルがどこに写像されるかを与えられれば、abcd を未知数とする方程式が二つ得られます。これでは４元方程式を解くのに条件が不足です。 ４）もう一つ別のベクトルがどこに写像されるか分かればよいのです。 ５）この問題では、少し捻ってあり、逆写像に於ける、ベクトルの挙動が与えられました。 ６）そこで、逆行列 ....(A B) ....(C D) を強引に abcd で表し、方程式を二つ求めました。これで、計算さえ間違えなければ解けるという安心感が得られました。 ７）この連立方程式の中には中には、行列式 ad - cd が含まれますから、一見、二次方程式のように見えます。しかし、これを力ずくで、代入などにより解いてゆくと二次の項が消えてしまいます。 ８）かくて、諸兄が求められた解が出て参ります。 ９）一般に同じような問題の与え方があったとき、何時も二次の項が消えるのかどうか、まだ考えていません。多分そうなるでしょう。 １０）素人が口を出し失礼いたしました。
修正 文字を使って簡単に表現すると（２）式は （Aの逆行列をA'で表現しています） A'B＝C 両辺左寄りからAをかけて AA'B＝AC EB＝AC Eは単位行列 よって B＝AC ・・・（３）
>>（２）式の左寄りからｆをかけて ／2＼ ― ／a b＼ ／0＼ ＼4／ ― ＼c d／ ＼1／・・・（３） の式がよく分からないので教えてください 文字を使って簡単に表現すると（２）式は Aの逆行列をA'で表現しています A'B＝C 両辺左寄りからAをかけてEB＝AC Eは単位行列 AA'B＝AC よって B＝AC ・・・（３）
ややこしいけど、計算の訓練をする目的でやっているのかな？ ／a b＼ ／1＼― ／5＼ ＼c d／ ＼2／― ＼5／・・・（１） ／a b＼-1 ／2＼― ／0＼ ＼c d／× ＼4／― ＼1／・・・（２） （２）式の左寄りからｆをかけて ／2＼ ― ／a b＼ ／0＼ ＼4／ ― ＼c d／ ＼1／・・・（３） （１）（3）より a＋2b=5 c＋2d=5 2=b 4=d よってa=1 b=2 c=-3 d=4 こんな感じでいいのでは？
補足
（２）式の左寄りからｆをかけて ／2＼ ― ／a b＼ ／0＼ ＼4／ ― ＼c d／ ＼1／・・・（３） の式がよく分からないので教えてください このとき方を覚えると簡単に解けそうですね
A の逆行列が存在するようですね。 だとすれば、A によって点(0,1)が点(2,4)に写されます。つまり、 b=2 d=4 というわけです。
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
他にもあると思いますが、一例。 a＋2b=5・・（１） c＋2d=5・・（２） d-2b=0・・（３） -2c＋4a=ad-bc・・（４） とすると、（３）から d=2b・・[ア]を利用して、一旦 a,c を b を使った式に表します。 （１）より、a=5-2b・・[イ] （２）に d=2b を代入してから、c=5-4b・・[ウ] [ア][イ][ウ]を（４）に代入するとbの値がわかるので [ウ]から c の値が求められます。
お礼
どうもありがとうございました。