行列の証明問題です。

質問

大学受験問題の参考書にのっているのですが、わかりません。よろしくお願いします。

この問題は、行列なので、行列の中は、(a,b,c,d)=(左上、右上、左下、右下)というように書かせてもらいます。

問題は、
2x2行列A=(a,b,c,d)に対し、Δ(A)=ad-bcとする。このとき、次の等式を証明せよ。
Aが逆行列をもつとき、Δ(A^-1)=Δ(A)^-1

私は実際に計算し、等号で結ぼうと思いました。
私の計算結果は次の通りです。

A^-1=1/(ad-bc)(d,-b,-c,a)より
Δ(A^-1)=（1/(ad-bc)）*(ad-bc)=1・・・I
Δ(A)^-1=(ad-bc)^-1=1/(ad-bc)

ですが、上記のように、答えがありません。
解答はこのように具体的には計算しない解法なのですが、
私のように実際に計算しても答えは合うはずですよね？
でもどこが間違っているのかわかりません。
どなたかご存知の方、アドバイスをいただけませんか。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

pocopeco · ベストアンサー

具体的に計算する方法でも構いません。
しかし、この計算途中にミスがあります。

あなたの式
A^-1=1/(ad-bc)(d,-b,-c,a)より
Δ(A^-1)=（1/(ad-bc)）*(ad-bc)=1

★１つ目の式は合っています。
しかし、２つ目の式を考える前に考えるべき事があります。
A^-1=1/(ad-bc)(d,-b,-c,a)
={d/(ad-bc),-b/(ad-bc),-c/(ad-bc),a/(ad-bc)}
なので、２つ目の式は，
Δ(A^-1)=（1/(ad-bc)^2）*(ad-bc)=1/(ad-bc)
となります。

行列の前にかかる係数（ここでは1/(ad-bc)です。）
は行列内の数全部にかかっているのです。分配法則みたいなものです。
この問題でのΔは、行列内の数を２つかけあわせたものの差なので、Δ(A^-1)を考える時には，Δ(d,-b,-c,a)に1/(ad-bc)の２乗をかけなければいけません。

お礼

pocopecoさま、御回答ありがとうございます。
かっこの外の係数が分配法則に従うことは知っていましたが、そこの計算過程で間違っているはずがない、と頭の中で考えていたので、ミスをしてしまいました。実際今、やってみますと、回答どおりにいきました。どうもありがとうございました。

回答No.2

noname#24477

#1のひとの言うとおりです。
具体例で考えると分かりやすいと思います。
Ａをｎ次正方行列とするとき
｜ｔＡ｜＝ｔ^n｜Ａ｜になります。

例えば３Ａ＝３（a　b　c　d）ぐらいで
考えてみたらどうでしょう。

お礼

ありがとうございました。自分の間違いがわかりました。