行列の問題です。

質問

行列
A=(a b)
(c d)
で表される１次変換fによって点(1,2)が点(5,5)に移り、fの逆変換f^-1によって点(2,4)が点(0,1)に移るとき、cの値を求めよ。

という問題なのですが、解けません。
どなたかご教授頂けないでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

1行目がa,b、2行目がc,dの2行2列の行列を|a,b,c,d|、
1行目がe、2行目がfの2行1列の行列(縦行列)を|e,f|
と書きます。
|a,b,c,d|*|1,2|=|a+2b,c+2d|=|5,5|より
a+2b=5・・・・(ア)
c+2d=5・・・・(イ)
f^-1はAの逆行列{1/(ad-bc)}*|d,-b,-c,a|による変換
であるから
{1/(ad-bc)}*|d,-b,-c,a|*|2,4|
={1/(ad-bc)}*|2d-4b,-2c+4a|=|0,1|より
2d-4b=0　→　d-2b=0・・・(ウ)
(-2c+4a)/(ad-bc)=1　→　(-2c+4a)=(ad-bc)
　→　(b-2)c=(d-4)a・・・(エ)
(ア)(イ)(ウ)(エ)を連立で解いてcを求める。
(イ)よりd=(5-c)/2
(ウ)に代入してb=d/2=(5-c)/4
(ア)に代入してa=5-2b=5-(5-c)/2=(5+c)/2
これらのa,b,dを(エ)に代入して
{(5-c)/4-2}c={(5-c)/2-4}(5+c)/2
{(5-c)-8}c={(5-c)-8}(5+c)
(-c-3)c=(-c-3)(5+c)
(c+3)(c-5-c)=0　→　c=-3・・・答えになります。

お礼

NO.2の回答含めて、丁寧に教えて下さりありがとうございました！！
すごく助かりました。
これからも数学頑張ります。

回答No.4

alice_44

A No.2 の流儀により、

Ａ　＝
　　５　２　×　１　０
　　５　４　　　-2　１

回答No.2

yyssaa

２行２列の行列×２行１列の行列　→　２行１列の行列
の計算はOK？
逆行列の知識はOK？

ところで、当方の計算ミスかもしれませんが、
問題はOK？

回答No.1

anisakis

変換の仕方は知ってますか？
逆変換f^-1によって点(2,4)が点(0,1)に移るなら
変換fは点(0,1)を点(2,4)に移します

お礼

あ、そうか・・・・
逆変換にはそんな意味があったんですね。
ありがとうございますm(_ _)m