分割を用いた行列式の計算

質問

どうしても答えに辿り着くことができません。
どうかご教授お願いします。
以下がその問題です。

次の行列式を計算せよ。ただし、Iは３次の単位行列とする。
|aI bI|
|cI dI|
（答えは、|ad-bc|の３乗です）

自分なりに行・列基本変形を行ってみたのですが、
|A B|
|O C|
の形に持ち込むことができません。
変形の手順から教えて頂けると幸いです。

では、回答お待ちしております。

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

|aI　bI|
　|cI　dI|
　　↓　第 1 ブロック行を a で割り c を掛け、第 2 ブロック行から減算。
　| aI　　　 　bI　　　|
　| 0　　(d-(bc/a)}I|
　　↓　第 2 ブロック行を d-(bc/a) で割り b を掛け、第 1 ブロック行から減算。
　| aI　　　 0　　　|
　| 0　　(d-(bc/a)}I|
でどうでしょうか。
要チェック、みたいですが。

お礼

お早い回答ありがとうございます！
おかげ様で解決しました。

追加で質問させて頂きたいのですが、
| a b c d |
| d a b c |
| c d a b |
| b c d a |
はどう計算すれば良いのでしょう？
これもまた、全く見当がつかずといった状態でして……

回答No.4

noname#101087

あ、宿題が出てたんですか。

>| a b c d |
>| d a b c |
>| c d a b |
>| b c d a |
>はどう計算すれば良いのでしょう？

分割を用いると、かえってこじれそう。
「巡回性」を利用するほうが見通しよさそうですが。
#2 さんのコメントにあるように、「a+b+c+d で割り切れます」。残りは 3 x 3 行列式。

参考ページ。
　　↓
　http://mathworld.wolfram.com/CirculantDeterminant.html

回答No.3

Tacosan

え～と, a+b+c+d をくくりだして 3次におとすと
|a-d b-d c-d|
|d-c a-c b-c|
|c-b d-b a-b|
とできるはずです. 確かにその行列式もこれと同じ値ですが, むしろこっちの方が素直な気がします.
でこうなれば「3行目を 1行目に加える」ことで 2つ目の因数が出てきます.
そして, この「2個目の因数」がわかることによって残る 2次式も自動的に因数分解できる (というかした結果がわかる) ことになります.

回答No.2

Tacosan

えぇと,
|aI bI|
|cI dI|
なら適当に順序を変えると
|a b|
|c d|
が対角線上に 3つならんだブロック対角行列になるはずですよね. だから (ad-bc)^3.
あと, 追加質問のやつだと (2, 3, 4行目を 1行目に加えるとわかるように) a+b+c+d で割り切れます. これで 3次に落ちるので, さらにナニしてアレしてとやれば因数分解できるはず.

お礼

回答ありがとうございます。

追加質問の問題なのですが、
頂いたアドバイスを元に、
| a-c b-d c-d |
| d-b a-c b-c |
| c-b d-b a-b |
まで進めたのですが、ここからの手順が思いつきません。
うーん、何かこの手の計算に「コツ」みたいなものはないんでしょうか？