逆行列の求め方

質問

1 ,3 ,5 ,7 1行目
1^2,3^2,5^2,7^2　　２行目　
1^3,3^3,5^3,7^3　　３行目
1^4,3^4,5^4,7^4　　４行目

４×４の行列の逆行列を求めよ。
ただ単に逆行列を求めるのであれば、計算は大変になるが、この行列を単位行列に変形することで求められるが、累乗をいかした解法を問題作成者は期待しているとおもうので、それに添った解答はどうなるのか。
よい解答を教えてください。

回答No.1

20203

その形から連想するのはファンデアモンデの行列式ですかね。
なので、行列式計算が簡単に行えます。
したがって、余因子が簡単に計算でき、ゆえに余因子行列がわかり、
最終的に逆行列もわかります。

今の問題ですと
行列式 = 3*5*7*(7-5)(7-3)(7-1)*(5-3)(5-1)*(3-1)
であり、(1,1)余因子は
a~_{11} = 3 * 5 * 7 * (7-5)(7-3) * (5-3)
ですね。

ファンデアモンデの行列式（van der Monde determinat）
http://mathworld.wolfram.com/VandermondeDeterminant.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix
http://popcorn.cocolog-nifty.com/monna_kiss/files/vandermonde.pdf

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/VandermondeDeterminant.html,http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix

お礼

お礼が遅くなり大変すみませんでした。
参考ｕｒｌをつけていただきありがとうございます。
読みこなすまでの力がないので、
正直ポイントがよく分かりませんでした。
行列の計算はやっていることの意味か゛なかなか
よく分からないところがあります。
行列式はなんのためにあるのかとか、固有値とか
先ずはお礼とお詫びで失礼します。