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掃き出し法 逆行列

掃き出し法について質問させて頂きます。 連立1次方程式を解く場合に、掃き出し法を用います。 AX=Bとすると、Aを係数行列、[A|B]を拡大係数行列。 上に従って連立1次方程式から拡大係数行列を作ります。 拡大係数行列について、行(列)基本変形を行い[A|B]における Aを階段行列にします。 ここで、質問なのですがAを階段行列にした際に、 Aが単位行列となる場合は必ず自明解を持つと 言う認識で良いでしょうか? また、Aの階段行列より導かれる階数をrankAとすると rankA=rank[A|B]の場合は連立一次方程式に解 が存在します。 この時、Aが単位行列でない場合は一般解(特殊解)が 存在すると言う認識ですが正しいでしょうか? 掃き出し法は計算にコツが入りそうだったので、 逆行列を求める場合は、余因子行列を用いて求めていました。 しかし、知人から掃き出し法で求める方が効率が良いと助言を 頂いたので勉強し直している次第です。 以上、ご回答よろしくお願い致します。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.4

>「rankA=rank[A|B] で、かつAが基本変形で単位行列に変形不能な場合 >AX=Bはどのような解を持つか?」 >についてですが、この解は一般解とは言わないのでしょうか? >http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/senkei/hakida … >では、rankA=rank[A|B]<nの時の解を一般解と表現しています。 普通、「一般解」や「特殊解」は微分方程式や差分方程式の解を分類するときに使う 言葉ですね。 #特異解なんてのもあります。 線形代数でもパラメータを含む解を一般解と言いないわけではありませんが、 一般的な言い回しではないので、とまどう人が多いと思いますよ。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございました。 >「一般解」や「特殊解」は微分方程式や差分方程式の解を >分類するときに使う 仰るとおり、微分方程式を解く時に一般解という言葉をよく使って いました。 線形代数はあまり一般的な言葉ではないのですね。 理解できました。 ご回答本当にありがとうございました。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.3

表現を直して答えてみます。 >Aを階段行列にした際に、 >Aが単位行列となる場合は必ず自明解を持つと >言う認識で良いでしょうか? | V 「Aを基本変形で単位行列に変形できるとき、AX=Bは唯一解を持つか」 Yes >Aの階段行列より導かれる階数をrankAとすると >rankA=rank[A|B]の場合は連立一次方程式に解 >が存在します。 >この時、Aが単位行列でない場合は一般解(特殊解)が >存在すると言う認識ですが正しいでしょうか? | V 「rankA=rank[A|B] で、かつAが基本変形で単位行列に変形不能な場合 AX=Bはどのような解を持つか?」 次数=n-Aのランク(nは行列の大きさ)) の線形部分空間になる。

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質問者からの補足

いつもご回答ありがとうございます。 上の内容は理解できました。 自明解とは、同次連立一次方程式AX=0における解を指すのですね。 「rankA=rank[A|B] で、かつAが基本変形で単位行列に変形不能な場合 AX=Bはどのような解を持つか?」 についてですが、この解は一般解とは言わないのでしょうか? http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/senkei/hakidasi.pdf では、rankA=rank[A|B]<nの時の解を一般解と表現しています。 お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

  • 回答No.2

>ここで、質問なのですがAを階段行列にした際に、 >Aが単位行列となる場合は必ず自明解を持つと >言う認識で良いでしょうか? ??? 自明解って 右辺Bが零ベクトルのとき、X=零ベクトルが 「自明」の解だと思いますが、Bは零ベクトルなんですか? >rankA=rank[A|B]の場合は連立一次方程式に解 >が存在します。 >この時、Aが単位行列でない場合は一般解(特殊解)が >存在すると言う認識ですが正しいでしょうか? 線形代数で一般解って何でしょう? 解空間の次数が 1以上 という意味で言っているなら、Aが単位行列なら一般解はありません。

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質問者からの補足

ご回答ありがとうございます。 私が勘違いしているようです。 ただひとつの解を持つ事を自明解と認識しています。 任意の解を持つことをを一般解と認識しています。 上記の認識が全くの間違いということですね。

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

「A が単位行列となる」とか「Aが単位行列でない」の意味がよくわからんし, 「自明解」や「一般解(特殊解)」もどういう意味で使っているのかわからん. ちなみに逆行列を求める手間 (時間) なら, 余因子を使うより掃き出し法の方がはるかに速いはずです. 行列式を求めるときですら掃き出し法を使うくらいなわけで.

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