行列式の答えに辿り着けません

質問

次の行列式を計算せよ。
|a b c d|
|b a d c|
|c d a b|
|d c b a|

…本の答えは
(a+b+c+d)(a-b+c-d)(a+b-c-d)(a-b-c+d)
となっています。
自分でやってみました。
サラスで
a^4 + b^2・d^2 + c^4 + b^2・d^2
- d^4 - a^2・c^2 - b^4 - a^2・c^2
= a^4 - 2(a^2・c^2) + c^4
- {b^4 - 2(b^2・d^2) + d^4}

p=a^2, q=b^2, r=c^2, s=d^2としますと
= p^2 - 2pq + q^2
- (r^2 - 2rs + s^2)
= (p-q)^2 - (r-s)^2

m=p-q, n=r-sとしますと
= m^2 - n^2
= (m-n)(m+n)
= {(p-q)-(r-s)}{(p-q)+(r-s)}
= {(a^2 - b^2)-(c^2 - d^2)}{(a^2 - b^2)+(c^2 - d^2)}
= {(a-b)(a+b)-(c-d)(c+d)}{(a-b)(a+b)+(c-d)(c+d)}
…となりました。
まず、ここまでは合っていますでしょうか？
合っているならば、ここからどうやって本の答えまで辿り着けるのでしょうか？
まさか全部掛け合わせるとか言いませんよね？
ではお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

|a b c d|
|b a d c|
|c d a b|
|d c b a|

=(a+b+c+d)* (2行+3行+4行)を1行に加え、(a+b+c+d)で括る
|1 1 1 1|
|b a d c|
|c d a b|
|d c b a|

=(a+b+c+d)(a+b-c-d)* (1行-3行-4行)を2行に加え、(a+b-c-d)で括る
|1 0 1 1|
|b 1 d c|
|c -1 a b|
|d -1 b a|

=(a+b+c+d)(a+b-c-d)*　　2行を3行と4行に加える
|1 0 1 1 |
|b 1 d c |
|b+c 0 a+d b+c|
|b+d 0 b+d a+c|

=(a+b+c+d)(a+b-c-d)*　　2列で展開
|1 1 1 |
|b+c a+d b+c|
|b+d b+d a+c|

=(a+b+c+d)(a+b-c-d)*　　1列を2列、3列から引く
|1 0 0 |
|b+c a-b-c+d 0 |
|b+d 0 a-b+c-d|

=(a+b+c+d)(a+b-c-d)*　　1行で展開
|a-b-c+d 　 0 |
| 0 a-b+c-d|

=(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b-c+d)(a-b+c-d)

お礼

ありがとうございます。

恥ずかしいのですが、実は最初の
> |a b c d|
> |b a d c|
> |c d a b|
> |d c b a|
>
> =(a+b+c+d)* (2行+3行+4行)を1行に加え、(a+b+c+d)で括る
で既に躓いてしまっています。一歩ずつ進めることにして、
(a+b+c+d)*2行を1行に加えると
a+b(a+b+c+d) b+a(a+b+c+d) c+d(a+b+c+d) d+c(a+b+c+d)
(a+b+c+d)*3行を1'行に加えると
a+b(a+b+c+d)+c(a+b+c+d) b+a(a+b+c+d)+d(a+b+c+d) c+d(a+b+c+d)+a(a+b+c+d) d+c(a+b+c+d)+b(a+b+c+d)
(a+b+c+d)*4行を1''行に加えると
a+b(a+b+c+d)+c(a+b+c+d)+d(a+b+c+d) b+a(a+b+c+d)+d(a+b+c+d)+c(a+b+c+d) c+d(a+b+c+d)+a(a+b+c+d)+b(a+b+c+d) d+c(a+b+c+d)+b(a+b+c+d)+a(a+b+c+d)
ですよね？まとめると
a+(b+c+d)(a+b+c+d) b+(a+c+d)(a+b+c+d) c+(a+b+d)(a+b+c+d) d+(a+b+c)(a+b+c+d)
これは(a+b+c+d)で括れないですよね？（絶対に私の計算が間違っているんだと思いますけど。(^^ゞ）
すみません、どうか教えてください。

回答No.3

info22

>で既に躓いてしまっています。一歩ずつ進めることにして、
先が思いやられます。。。

|a b c d|
|b a d c|
|c d a b|
|d c b a|

> (2行+3行+4行)を1行に加え、(a+b+c+d)で括る

(2行+3行+4行)
|b+c+d a+d+c d+a+b c+b+a|

これを1行に加えると
1行は
|a+b+c+d b+a+d+c c+d+a+b d+c+b+a|

共通因数(a+b+c+d)で括ると
1行は
(a+b+c+d)|1 1 1 1|
となります。

これを行列式に戻せば
=(a+b+c+d)*
|1 1 1 1|
|b a d c|
|c d a b|
|d c b a|

となりませんか？

↓何をやっているのか？　理解に苦しみます。
>(a+b+c+d)*2行を1行に加えると
>a+b(a+b+c+d) b+a(a+b+c+d) c+d(a+b+c+d) d+c(a+b+c+d)
...

行列式の共通項と　説明の文を分割しないいけないよ。

他の
「=( )*」 で始まる行はこれは行列式から括りだした項です。
それに続くのが説明です。
ここの投稿では複数の空白（スペース）が詰められて間が少なくなることを考慮しないといけないよ。
=()()*
と「*」の掛け算記号で終わっているところまでは、行列式から括りだした
項です。
「*」の後の空白に続き書いてあるのが行列式の操作の説明です。
そういった見方で行列式の計算過程を把握して下さい。

お礼

やっと完了しました。
展開するところは気分がいいですね。
ただ、同じ問題が出ても自分一人で解ける自信がまったくありません。(~_~)

ちなみに
>=(a+b+c+d)(a+b-c-d)* (1行-3行-4行)を2行に加え、(a+b-c-d)で括る
…は、きっと「(1列-3列-4列)を2列に加え」ですね。
ありがとうございました！

補足

さっき別の問題をやっているときにそれに気付いて、今急いで書き込みにきました。

>↓何をやっているのか？　理解に苦しみます。
>>(a+b+c+d)*2行を1行に加えると
>>a+b(a+b+c+d) b+a(a+b+c+d) c+d(a+b+c+d) d+c(a+b+c+d)

自分も理解に苦しみました。
> =(a+b+c+d)* (2行+3行+4行)を1行に加え、(a+b+c+d)で括る
と書かれていたので、そのまま計算しました。

>「=( )*」 で始まる行はこれは行列式から括りだした項です。
>それに続くのが説明です。

そういうことだったんですね。了解です。
では、最後まで計算してきます。
きちんとお礼をしますので、しばらくお待ちください。

回答No.2

Tacosan

残念ながら, 最初の「サラス」が既に間違いです. というわけで, その先どれだけ頑張っても (間違えない限り) 正しい答えにはたどり着きません.
(いわゆる) 基本変形を繰り返して計算しやすい形に持っていくのが普通.

お礼

ありがとうございます。
そう言えば、サラスって使えるのは二次式と三次式までで、四次以上の行列式には使えないんでしたね。
確かにこれでは正しい答えには辿り着きませんね。（汗）
サボらずに基本変形を繰り返して計算しやすい形に持っていくことにします。