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線形代数の行列の問題です。(その2)
べき零行列A(A^m = O)に対して exp(A) = E + A + {1/(2!)}A^2 + ・・・+{1/(m-1)!}A^(m-1) と定義する。 A,Bがべき零かつ可換ならば exp(A+B) = exp(A) ・ exp(B) を証明せよ。 という問題について質問があります。 この問題の解説にて exp(A) ・ exp(B) = [Σ[p=0,r-1]{1/(p!)}A^p][Σ[q=0,s-1]{1/(q!)}B^q] = Σ[t=0,m-1]{1/(t!)}[Σ[p+q=t]{(t!)/(p!q!)}(A^p)(B^q)] (ただしm=r+s-1) とありますが、何故 m = r+s-1 とおけるのか、そして、何故 m = r+s-1 と置くという発想に至るのかが分かりません。
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- uyama33
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[Σ[p=0,r-1]{1/(p!)}A^p][Σ[q=0,s-1]{1/(q!)}B^q] この式は、A^r=0 , B^s=0 を意味している。 そこで、(A+B)^m=0 となる最小のｍを見つけると、 m=r+s-1 になる。
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