線形代数の行列の質問:べき零行列と指数関数行列の性質

このQ&Aのポイント
  • 線形代数の行列に関する質問です。
  • べき零行列Aに対して定義される指数関数行列exp(A)の性質についての証明を求められています。
  • 解説にて、指数関数行列の性質を変形する過程が示されていますが、その変形の理由や意味について理解できません。
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線形代数の行列の質問です。

べき零行列A(A^n = O)に対して exp(A) = E + A + {1/(2!)}A^2 + ・・・+{1/(m-1)!}A^(m-1) と定義する。 A,Bがべき零かつ可換ならば exp(A+B) = exp(A) ・ exp(B) を証明せよ。 という問題について質問があります。 この問題の解説にて exp(A) ・ exp(B) = [Σ[p=0,r-1]{1/(p!)}A^p][Σ[q=0,s-1]{1/(q!)}B^q]・・・(1) = Σ[t=0,m-1]{1/(t!)}[Σ[p+q=t]{(t!)/(p!q!)}(A^p)(B^q)]・・・(2) (ただしm=r+s-1) とありますが、なぜ(1)を(2)に変形することが出来るのか理解できません。 そもそも、 Σ[p+q=t] の意味がわかりません。

質問者が選んだベストアンサー

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noname#201272
noname#201272
回答No.2

補足読みました。 pq平面で直線p+q=tを第一象限(p≧0,q≧0)で考えればイメージしやすいと思います。 (2)においてp≧rかまたはq≧sのとき(A^p)(B^q)が消えるので 丁度{0,1,・・・,r-1}×{0,1,・・・,s-1}のときの和である(1)と一致します。

その他の回答 (1)

noname#201265
noname#201265
回答No.1

2行目の式に出てくるmは何ですか? 下の計算をみると定数ではなく元の行列に依存するようですが。

373737110
質問者

補足

質問文に誤りがありました。 第一文目のA^n = Oですが、正しくはA^m = Oです。

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