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線形代数　exp(B)の求め方

２×２の行列B=(0　-a,a　0)が与えられたとき、 exp(B)はどのようにして求めるのでしょうか？ 自分としては、expの定義を使って、 exp(B)=Σ(B^k）/k! で(0　e^-a,e^a　0)になるのではないかと考えているのですが。。。 回答よろしくおねがいします<m(__)m>

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  • Tacosan
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回答No.2

定義はあってます. k は 0 から∞, ですね. この手のものは, 普通は対角化してから計算した方が簡単です. ところが, 今の例に限っては例外的にそのまま簡単に計算できます. それは, 複素数 z=a+ib と 2次行列 Z = (a -b; b a) が四則演算に関し同型 ということがいえるからです. 実際, 行列 I = (0 -1; 1 0) を考えると I^2 = (-1 0; 0 -1) = -E となり, Z = aE+bI とおけることから同じように計算できそうだと感じられないでしょうか. ということで, この同型性を使うと実は ・B = (0 -a; a 0) = aI と 複素数 b = ia が同じ ・exp B と exp b が同じ ・オイラーの公式から exp ia = cos a + i sin a ・つまり exp B = (cos a)E + (sin a)I と計算できてしまいます. あ, B^2 = (-a^2 0; 0 -a^2) となることからばらすという方針もありますし, もちろんより一般的に対角化して計算するということはできなければなりません.

herobushi
質問者

お礼

再度の回答ありがとうございます。 複素数と同型と考えるのですか。。。 実際に色々な例を計算して勉強してみたいと思います。

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その他の回答 (1)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

exp の定義を使うのはいいんですが, B^2 なんかを計算すればわかるようにその答えにはならないはずです. (cos a -sin a; sin a cos a) とか, そんな感じにならんか?

herobushi
質問者

補足

確かに。。 自分のexpの定義は合っているでしょうか？ どのように計算すれば良いか分からなくて。。。 ということは回転行列になるんですかね？

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