線形代数の問題が解けません。 exp(At)

質問

線形代数の問題がどうしても解けないので、どなたか助けてください。
問題の書いてある画像を添付しています。

(1)に関しては解けていて、
C_(k+1) = (1 + b^Ta) C_k + 1 となりました。

(2)がC_kは分かったのですが、そのあとのexp(At)をどうすればいいかわかりません。
ご教授お願いいたします。

ちなみにC_kは、次のようになりました。
C_k = (1 + 1/(b^Ta) ) (b^Ta + 1)^(k-1) - 1/(b^Ta)

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

そう, Σ(t=0～∞) t^k/k! = exp t = e^t です. e^x のマクローリン展開を確認してみてください.

お礼

ありがとうございます。そうなると第二項も同様にできますね！
やっと理解しました、何度もありがとうございました。

回答No.4

Tacosan

え? 特に第1項はちょ～有名なやつだから, このくらいの問題をやってるなら「知ってて当然」レベルだと思うんだけど....

もともとの画像にある exp At の展開式に似てるとは思いませんか? というか, なぜ exp At をそのような形で定義するんだろうとは思いませんか?

第2項も k乗をまとめれば同じような形.

補足

もしかして、e^tのような形になるのでしょうか。
tに関して、Σt^k/k!=e^t と変形出来ないと勝手に思い込んでいました。
最後に確認のような補足ですみません。この認識はあっていますでしょうか。

回答No.3

Tacosan

「収束に持っていく」ってどういう意味?

exp(At)
= Σt^k/k! * [ I + { (1+1/(b^Ta))(b^Ta + 1)^(k-1) - 1/(b^Ta) } * ab^T]
= [I-ab^T/(b^Ta)]Σt^k/k! + [1/(b^Ta)]ab^T Σ(b^Ta+1)^k t^k/k!
です. 第1項, 第2項をそれぞれ処理してください.

補足

何度もありがとうございます。
「収束に持っていく」に特に意味はありませんでした。解答する、の意でした。
このΣが解けないんですが、これはきれいに解けるのでしょうか。。

回答No.2

Tacosan

本当に「代入していじる」だけなんだけど... どこで困ってる?

この計算そのものは絶対収束するはずだから「ふつ～の足し算」と同じように好きにばらしていい.

補足

「いじる」の部分がどうしたらいいのか分かりません。
exp(At) = Σ(A^kt^k/k!)　この式に、
A^k = I + C_k*ab^T , C_k = (1+1/(b^Ta))(b^Ta + 1)^(k-1) - 1/(b^Ta) を代入すると、
exp(At) = Σt^k/k! * { I + C_k * ab^T}
すなわち、
exp(At) = Σt^k/k! * [ I + { (1+1/(b^Ta))(b^Ta + 1)^(k-1) - 1/(b^Ta) } * ab^T]
となりますよね。
これをどうすれば収束に持っていけるのかわからないのですが…
少し変形してみましたが、ますます複雑になるばかりで。。

回答No.1

Tacosan

C_k まで出ているなら, 定義に突っ込めばいいのでは?

補足

最初に求めたC_kをA^k内で使っていますが、与式をどう求めたらいいのか分かりません。
どう収束させればいいのか。。