線形代数の問題

質問

線形代数の証明でわからないところがあるので教えてください

一次方程式Ax＝bが解をもつための必要十分条件は、
rank[A]=rank[A,b]らしいんですが証明方法がわかりません…
どなたか教えていただけると幸いです

ちなみにxとbはベクトルです

よろしくおねがいします

回答No.2

uyama33 · ベストアンサー

書くのがたいへんなので転置した物を書きます。
読むときは書いてあることを転置した形で読んで下さい。

ｘ＝（ｘ１，ｘ２，。。。ｘn)
とする。

x=x1(1,0,0,...0)+x2(0,1,0,...0)+...+xn(0,0,...,1)

となる、

Ax = x1a1 + x2a2 + ... +xnan
となります。
ここで
a1,a2,...,an は行列Aの列ベクトルです。

この　x が変化すると、Ax は行列A　の列ベクトルの張る
空間となります。
　ランクは列ベクトルの中で１次独立なものの最大数となります、
　簡単にするために
a1,a2,a3 が１次独立で、ランクは３だとします
このときは、a4,a5,...an は全てこのa1,a2,a3の１次結合でかけます。
　rank[A]=rank[A,b]ならば、
ベクトルｂはAの列ベクトルに１次従属です。
結果として、ｂはa1,a2,...anの１次結合で書けます。
ｘの成分をこの１次結合の係数を並べた物にすれば
良いので、解を持つことになります。

　逆に解を持つなら
ｂはAの列ベクトルの１次結合なので
Aにｂを加えた行列の　rank[A,b]　は増えません
もちろん減らないので　rank[A]=rank[A,b]
となります。

お礼

私には少し難解な部分もありますが
分かりました
どうもありがとうございました！

回答No.1

Labbit

問題があっているかもう１度確かめてほしいのですが、ベクトルなのは、Aとbの間違いじゃないでしょうか？
参考になるかわかりませんが、Aとbがベクトルの場合で証明を書くとすると(下)のように考えたらいいと思います。
b=[b_1 b_2 … b_ｎ],x=[x_1 x_2 … x_ｎ]とするとき、Ax=bなるxが存在⇔Ax_i=b_iなるx_iが存在
少しでも役に立てたら嬉しいです。