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線形代数 問題

線形代数 問題 線形代数の問題です。かなり基本的な問題だと思うのですが・・・ (問題)ベクトルa≠0,b≠0においてa=λb+c,c⊥bとおく時λ,cを求めよ。 Googleで検索してもなかなかヒットしないので・・・解き方の方法だけでも良いので教えて頂けませんでしょうか?

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  • 回答No.3
  • carvelo
  • ベストアンサー率49% (49/99)

aとbの内積を(a,b)のように表すことにします このとき,c⊥bより(c,b) = 0だから (a,b) = (λb+c,b) = λ(b,b) + (c,b) = λ(b,b) よって λ = (a,b)/(b,b) c = a - λb = a - ((a,b)/(b,b))b

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございました。

質問者からの補足

お礼が遅くなり大変申し訳ございません。ご回答ありがとうございます。線形代数の内積空間を一度さらいました。 内積はテキスト通りにa・bと表しました。 c⊥bよりc・b = 0を用いて a・b=(λ・b+c)・b=λ・b・b+c・b=λ・b・b λ=(a・b)/(b・b) a=(λ・b+c) c=a-(λ・b) =a-((a・b)/(b・b))・b cはa-((a・b・b)/(b・b))と表しても良いのでしょうか?内積の公理なので良いと考えています。 また、c⊥bならばc・b = 0はどのように証明されるのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

ベクトルaをVaで表す。 VaをVbに平行な成分と垂直な成分に分解すればよい。 Vbに平行な方向の単位ベクトルをui,垂直な方向の単位ベクトルをujとすると Va=|Va|cos(t)ui+|Va|sin(t)uj cos(t)=Va・Vb/|Va||Vb|(Va・VbはVaとVbの内積) sin(t)=√(1-cos(t)^2)=√((|Va||Vb|)^2-(Va・Vb)^2)/|Va||Vb| ui=Vb/|Vb| Va=|Va|cos(t)ui+|Va|sin(t)uj =|Va|Va・Vb/|Va||Vb|Vb/|Vb|+uj√((|Va||Vb|)^2-(Va・Vb)^2)/|Vb| よって λ=Va・Vb/|Vb|^2 c=Vc=uj√((|Va||Vb|)^2-(Va・Vb)^2)|Vb| (ujはVa=a,Vb=bを用いては表せないのでこのままとする。)

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  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

c⊥b という条件をどう使うか, って問題だと思う. あるいは「シュミットの直交化手法を知ってるか」という確認.

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