線形代数 証明方法

質問

線形代数の証明方法に関する質問です。
(線形代数というより、証明問題の答え方に対する質問です。こちらは数学初学者です。)

以下のような問題があります。
(題)
Dを実ベクトル空間とし、a,b,c,dをそれぞれDに属するベクトルとする。
d=a-bである時、a,b,c,dが線形従属であることを示せ

これに対し、私は次のような証明をしています。

(1).線形従属であるとは線形独立でないことを指すから、
pa+qb+rc+sd=0を満たす(p,q,r,s)の組が(0,0,0,0)以外に存在することを示せばよい。

(2).d=a-bと上式を連立一次方程式としてとく
(3).a(p+s)+b(s-q)+rc=0とおける。
　この時、(p,q,r,s)=(1,-1,0,-1)の組み合わせは上式を満たす
(4).従って、(1)で提示した条件を満たすため、a,b,c,dは線形従属である

数学記号が使っていないなどいささか拙い証明であるとは思いますが、この回答に対し、

・(3)不要。線形代数が理解できていない。考え直すこと
ととある方からコメントを受けました。(いま数学を教わっている方です。)

まるで箸にも棒にもかかっていないような言い方なので、悩んでいます。
この証明が根本的に間違っているような感じですが、何がおかしいのでしょうか?
(本人に質問する、という回答はなしでお願いします...)

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

>d=a-bである時、a,b,c,dが線形従属 .....

「d=a-b である」から直に、
　1*a + (-1)*b + 0*c + (-1)*d = 0
という「非零係数」線形結合が導けるからでしょうね。

お礼

ありがとうございます。
線形代数が理解できていない、ということでしたので、何か根本的な間違いをしているのかと悩んでおりました。

回答No.2

noname#152422

循環論法だからでしょう。

(3)は結果（そんなp,q,r,sが存在する）を使ってしまっているから。

しかも計算ミスしてるし　→　bの頭はプラスではなくてマイナス

お礼

循環論法なのでしょうか?
0,0,0,0が存在するのは明らかなので、それを満たす式を変形しているだけなのですが…