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線形代数 exp(B)の求め方
Tacosanの回答
定義はあってます. k は 0 から∞, ですね. この手のものは, 普通は対角化してから計算した方が簡単です. ところが, 今の例に限っては例外的にそのまま簡単に計算できます. それは, 複素数 z=a+ib と 2次行列 Z = (a -b; b a) が四則演算に関し同型 ということがいえるからです. 実際, 行列 I = (0 -1; 1 0) を考えると I^2 = (-1 0; 0 -1) = -E となり, Z = aE+bI とおけることから同じように計算できそうだと感じられないでしょうか. ということで, この同型性を使うと実は ・B = (0 -a; a 0) = aI と 複素数 b = ia が同じ ・exp B と exp b が同じ ・オイラーの公式から exp ia = cos a + i sin a ・つまり exp B = (cos a)E + (sin a)I と計算できてしまいます. あ, B^2 = (-a^2 0; 0 -a^2) となることからばらすという方針もありますし, もちろんより一般的に対角化して計算するということはできなければなりません.
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