代数学

質問

代数学の問題の解法の仕方がわからなくて困っています。

問
0 1 1/2
行列 A= 0 0 1　　　に対して
0 0 0

exp(A)=E+A+A^2/2!+A^3/3!+…+A^n/n!…と定める。
このとき、expAの逆行列はexp(-A)であることを示せ。
自分では、行列Ａの2乗、3乗、4乗は計算して、そこからどのようにやるのかがわかりません。
もしかして、この解法の始めが間違っているのか不安です。
どのようにして解法を始めればよろしいのでしょうか。
だれか教えていただけませんか。
よろしくお願いします。

回答No.4

kumipapa

与えられた行列は、対角成分が 0 の上三角行列。冪零行列であり、3 次なのだから A^3 = O は明らか。あたりまえだけど実際に計算してもそう。だから、「 A^3, A^4 と計算して・・・」 などというのは「おかしい、怪しい・・・」となる。

(1) まずは基本から。A^2, A^3 の成分（要素）をちゃんと計算してみましょう。A^3 = O にならなければ間違いです。
(2) exp(A) の成分を定義に従って計算してみましょう。
(3) (2) の結果から、exp(A) の逆行列を愚直に計算してみましょう。
(4) exp(-A) の成分を定義に従って計算してみましょう。
(5) (3), (4) の結果を比較すれば exp(A) の逆行列が exp(-A) であることを示せる。
(6) (2) で計算した exp(A) と (4) で計算した exp(-A) とで積をとり、exp(A) exp(-A) = E (単位行列）を示してみましょう。
(7) exp(A) exp(-A) = (E + A + (1/2)A^2) (E - A + (1/2)A^2) = E であることを、このまま計算して示しましょう。当然、計算途中で A^3 = O, A^4 = O は利用。

以上 (5), (6), (7) の 3 通りの示し方を試しても 10 分はかかるまい。
(1) から (7) で少しでも不安な点があればまずは教科書へ。
それでもどうしても分からなければ、ご自分の計算結果を必ず添えて補足欄へどうぞ。計算結果を見せてくれねば、どこが間違えているかも分からないので。

回答No.3

R_Earl

> 自分では、行列Ａの2乗、3乗、4乗は計算して、そこからどのようにやるのかがわかりません。

もし計算があっているなら、このような文は書きません。
つまり、問題が解けなかった原因は計算ミスだと考えられます。
Aの2乗、3乗、4乗を求める際に計算ミスしていませんか？
もう一度計算し直してみて下さい。

回答No.2

Tacosan

な～んも考えずに
exp(A) ・ exp(-A) = E
を証明するという方針もあるな. 面倒なことは承知だけど.

回答No.1

kumipapa

＞　自分では、行列Ａの2乗、3乗、4乗は計算して、
怪しい。それでは、A^2, A^3, A^4 の計算結果を補足欄へどうぞ

＞　そこからどのようにやるのかがわかりません。
うそだー。
exp(A), exp(-A) をどんな形でもよいから求めて補足欄へどうぞ。
こんな簡単なものが求まらない筈がありません。
そして、exp(A) の逆行列が exp(-A) であることを示すために、具体的に何を計算すればよいかを補足欄へどうぞ。

もう少し自分の問題としてがんばりましょう。
そうこうしているうちに、どなたかが丸答えしてくれるかも知れませんから、それを待つのも手かもね。