行列の問題です

質問

行列Ａ＝(2 3 1 2),P=(√3　-√3 1 1)に対して、B=(P^-1)APとおく。また、n=1,2,3,・・に対して、a_n,b_nを
(a_n b_n)=A^n(2 0)で定める。（これは列で表しています）
（１）Ｐ^-1とＢを求めよ。
（２）a_n,b_nを求めろ。
（３）実数ｘを超えない最大の整数を［ｘ]で表す。このとき[（2+√3)^n]=a_nー１を示せ。
また、c_n=(2+√3)^nー[(2+√3)^n]とするとき、lim(n→∞）c_nを求めよ。

行列はa,b,c,dの順で表しています
解説できる方おねがいします。

回答No.3

ereserve67

(1)逆行列公式から

P^{-1}=(1/(2√3)))(1 √3 -1 √3)

また

AP=(3+2√3 3-2√3 2+√3 2-√3)

∴B=P^{-1}AP=(2+√3 0 0 2-√3)

(2)a=2+√3，b=2-√3とおくと

B^n=(a^n 0 0 b^n)

∴A^n=(PBP^{-1})^n

=P(BP{-1}P)(BP{-1}P)・・・(BP{-1}P)BP^{-1}

=PB^nP^{-1}

=((a^n+b^n)/2 (√3/2)(a^n-b^n) (1/(2√3))(a^n-b^n) (a^n+b^n)/2)

a_n=a^n+b^n=(2+√3)^n+(2-√3)^n
b_n=(a^n-b^n)/√3={(2+√3)^n-(2-√3)^n}/√3

(3)(2)より

(2+√3)^n=a_n-(2-√3)^n

ここで0<2-√3<1，0<(2-√3)^n<1であり，

a_n-1<a_n-(2-√3)^n<a_n

a_n-1<(2+√3)^n<a_n

が成り立つ．ここでa_nは定義より整数である（Aの成分はすべて整数）から，この式は

[(2+√3)^n]=a_n-1

を示している．またこの式と(2)と0<2-√3<1より

c_n=(2+√3)^n-(a_n-1)

=1-(2-√3)^n→1(n→∞)

回答No.2

Tacosan

(1) で B を求めさせているってことは, その B を使って何とかしてみろってことだね.

問題文では B=(P^-1)AP と「A から B を求める」式が与えられてるけど, ここから A=... という形にできますか?

回答No.1

Tacosan

どこで困ってるの?

補足

(2)からです