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行列の問題です
行列A=(2 3 1 2),P=(√3 -√3 1 1)に対して、B=(P^-1)APとおく。また、n=1,2,3,・・に対して、a_n,b_nを (a_n b_n)=A^n(2 0)で定める。(これは列で表しています) (1)P^-1とBを求めよ。 (2)a_n,b_nを求めろ。 (3)実数xを超えない最大の整数を[x]で表す。このとき[(2+√3)^n]=a_nー1を示せ。 また、c_n=(2+√3)^nー[(2+√3)^n]とするとき、lim(n→∞)c_nを求めよ。 行列はa,b,c,dの順で表しています 解説できる方おねがいします。
- shin4242
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- ereserve67
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(1)逆行列公式から P^{-1}=(1/(2√3)))(1 √3 -1 √3) また AP=(3+2√3 3-2√3 2+√3 2-√3) ∴B=P^{-1}AP=(2+√3 0 0 2-√3) (2)a=2+√3,b=2-√3とおくと B^n=(a^n 0 0 b^n) ∴A^n=(PBP^{-1})^n =P(BP{-1}P)(BP{-1}P)・・・(BP{-1}P)BP^{-1} =PB^nP^{-1} =((a^n+b^n)/2 (√3/2)(a^n-b^n) (1/(2√3))(a^n-b^n) (a^n+b^n)/2) a_n=a^n+b^n=(2+√3)^n+(2-√3)^n b_n=(a^n-b^n)/√3={(2+√3)^n-(2-√3)^n}/√3 (3)(2)より (2+√3)^n=a_n-(2-√3)^n ここで0<2-√3<1,0<(2-√3)^n<1であり, a_n-1<a_n-(2-√3)^n<a_n a_n-1<(2+√3)^n<a_n が成り立つ.ここでa_nは定義より整数である(Aの成分はすべて整数)から,この式は [(2+√3)^n]=a_n-1 を示している.またこの式と(2)と0<2-√3<1より c_n=(2+√3)^n-(a_n-1) =1-(2-√3)^n→1(n→∞)
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(2)からです