- ベストアンサー
極限の問題が分かりません
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
#1のものです。 1行間違えていました。 x^n=(1+r)^n>1+nr+n(n-1)r^2/2 ではなく 1/x^n=(1+r)^n>1+nr+n(n-1)r^2/2 です。 この不等式の逆数をとってnをかけると最後の不等式が得られます。
その他の回答 (2)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
A No.1 の証明が、絶賛推奨です。 初等的な内容は、初等的に示すのが、上品だからです。 でも、ロピタルも、使えないではありません。 実変数 n について lim[n→∞]f(n) が収束するならば、 n を自然数に制限した数列 f(n) の極限 lim[n→∞]f(n) も 同じ値に収束します。 そのことを証明するためには、収束するとはどういうことか、 そこの定義を厳密にせねばならず、 高校流の「どんどん近づく」では、ちょっと困難なのだけれど。 一応書いておくと、 実数 n での収束は、∀ε>0,∃t∈R, n>t⇒f(n)<ε …[1], 自然数 n での収束は、∀ε>0,∃m∈N, n>m⇒f(n)<ε …[2] で定義される。[1] が成立していれば、 実数 t について、m > t となる自然数 m が存在する …[3] ことから、この m によって [2] が成り立つ。 [3] は、実数の定義の一部で、 「アルキメデスの公理」と呼ばれています。
お礼
ありがとうございます ロピタルの定理も断りを入れれば一応使えるのですね 今後ともよろしくお願いします
- rnakamra
- ベストアンサー率59% (761/1282)
x=1/(1+r) とおくと 0<rであることが示せます。 n>2において x^n=(1+r)^n>1+nr+n(n-1)r^2/2 が成り立ちます。(左辺は2項定理で展開した前から3項を取っています) つまりn>2において nx^n<n/{1+nr+n(n-1)r^2/2} となります。あとははさみうちをしてしまえばよい。
関連するQ&A
- 有限の極限値
lim[x→0][{log(cosx)+√(1+x^2)-1}/x^n] が0以外の有限の極限値を持つように自然数nを定め、その時の極限値を求めよ。 という問題です。 私は、√(1+x^2)をマクローリン展開し、 √(1+x^2)=1+(x^2)/2-(x^4)/8+0(x^6) (0(x)はランダウの記号) としてから、 lim[x→0][{log(cosx)+√(1+x^2)-1}/x^n] =lim[x→0]{-tanx/nx^(n-1)}+lim[x→0][{1+(x^2)/2-(x^4)/8+0(x^6)-1}/x^n] (ロピタルの定理を使いました) n=2のとき =-1/2+1/2 =0 と、題意にそぐわない結果となってしまいました。 どなたか、正答わかるお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値の問題がよく分かりません・・・
極限値の問題では(lim)どの時点で答えと決定してよいのか分かりません・・。何も変化させないままlimの下の数字を代入して、0/0ならロピタルの定理などを使って、答えを導くというのはなんとなく分かるのですが、何も変化させないままlimの下の数字を代入して、0/1や1/0になる時はそのまま答えを0として良いのでしょうか? (説明が下手でスイマセン・・・) また、 lim(X→0)X・logX の出し方が分かりません。 上の疑問と同じで、X・logXを何も変化しないまま0に近づけると(代入すると)答えは0になりますが、そのまま答えにして良いのでしょうか? それとも、logX/(1/X)に変化し、ロピタルの定理を使い、0と導くのでしょうか? どこで変化または微分(ロピタルの場合)をストップさせていいのかが、よく分かりません。 誰か教えて頂けないでしょうか? お願いします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の問題について質問です
極限の問題について質問です 教科書のロピタルの定理のセクションに載っていた問題です。 lim[x→0] ((1+x)^(1/x)-e)/x という極限を求めるのですが、答えは-e/2で、いくつかの参考書で確認しました。 しかし、どれも答えだけしかのっていないので、解き方がわからない状態です。 ロピタルの定理を使って分母分子を微分してみるのですが、何度ロピタルを使っても不定形になってしまい、 いつまでも答えの値がでないのです。 他になにか解き方が有るのでしょうか?ぜひ教えて下さい。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます 整数だけで証明できる方法が分かり、すっきりしました 今後ともよろしくお願いします