数iii極限の問題

質問

nを自然数とする。lim(x→∞)[a]^n/[a^n]の極限値を求めよ。ただしa≧１

という問題ですが、aが整数でないとき、aの整数部分をAとおくと

０≦[a]^n/[a^n]≦A^n/（a^n-1）とはさみうちして、よって極限０としていましたが、なぜこのような不等式が成り立つのかを教えてください！

発想とかも教えてくれるとありがたいです。

お願いします。

回答No.1

fukuroumine · ベストアンサー

aが整数でないときを考える。
すると、
A＜a。
よって、
ガウス記号の意味から、
a^n -1＜[a^n]＜a^n。
一方、
[a]^n＝A^n。
よって、
[a]^n /[a^n]＜ A^n /(a^n -1)
(分子は等しく、分母は右辺の方が小さいから真に小さい）
当然左辺は0より大きい。
よって、
0＜[a]^n /[a^n]＜ A^n /(a^n -1)。
A^n /(a^n -1) =(A/a)^n /(1 -1/a^n)
となり、
0 ＜A/a ＜1
だから、
n→∞のとき、
A^n /(a^n -1) =(A/a)^n /(1 -1/a^n)　→0/1 =0

お礼

ありがとうございます！！！