関数の極限の問題の解説をお願いします。

質問

n　自然数です。
（１）limlogn/log(n+1)　＝　１
n→∞

（２）lim n(logn)2{sin(1/logn) - sin(1/log(n+1)}
n→∞
（１）は等式の証明、（２）では、まず２は２乗です。極限値を求める問題です。わかりにくい式になっておりますが、９１年の問題です。解説をお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

(1)
∀ε>0
→∃n_0>(e^{1/ε})+{1/(1-e^{-ε})}+e
∀n>n_0
↓
n_0>e>1/(1-e^{-1})
↓
n+1>n>n_0>max(e^{1/ε},e)
log(n+1)>max(1/ε,1)
|1/log(n+1)|<min(ε,1)

n+1>n>n_0>max(1/(1-e^{-ε}),1/(1-e^{-1}))
1/(n+1)<min(1-e^{-ε},1-e^{-1})
1-{1/(n+1)}>max(e^{-ε},e^{-1})
1/[1-{1/(n+1)}]<min(e^ε,e)
|log[1-{1/(n+1)}]|<min(ε,1)
↓
|{(logn)/log(n+1)}-1|
=|(logn)-log(n+1)|/|log(n+1)|
=|log{n/(n+1)}|/|log(n+1)|
=|log[1-{1/(n+1)}]|/|log(n+1)|
<min(ε,1)^2
≦min(ε,1)
≦ε
↓
lim_{n→∞}(logn)/log(n+1)=1

(2)
a_n=1/logn
x_n=(a(n)-a(n+1))/2
y_n=(a(n)+a(n+1))/2
とすると
x_n={(1/logn)-(1/log(n+1)}/2
x_n={log(n+1)-logn}/{(2logn)log(n+1)}
x_n=log{(n+1)/n}/{(2logn)log(n+1)}
x_n=log{1+(1/n)}/{(2logn)log(n+1)}
2(x_n)logn=[log{1+(1/n)}]/log(n+1)
lim_{n→∞}log{1+(1/n)}^n=1
lim_{n→∞}{(logn)/log(n+1)}=1
lim_{n→∞}x_n=0
lim_{n→∞}y_n=0
lim_{n→∞}sin(x_n)/x_n=1
lim_{n→∞}cos(y_n)=1
↓
lim_{n→∞}n{(logn)^2}[sin(1/logn)-sin{1/log(n+1)}]
=lim_{n→∞}n{(logn)^2}{2sin(x_n)cos(y_n)}
=lim_{n→∞}(nlogn){2(x_n)logn}{sin(x_n)/x_n}cos(y_n)
=lim_{n→∞}(nlogn){[log{1+(1/n)}]/log(n+1)}{sin(x_n)/x_n}cos(y_n)
=lim_{n→∞}[nlog{1+(1/n)}]{(logn)/log(n+1)}{sin(x_n)/x_n}cos(y_n)
=lim_{n→∞}[log{1+(1/n)}^n]{(logn)/log(n+1)}{sin(x_n)/x_n}cos(y_n)
=1

お礼

丁寧に解説してもらい、有難うございます。（２）の問題は、和と積の公式を使っていることはわかりました。何回も見て、しっかり考えてみます。また、宜しくお願いします。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

ロピタルの定理を使えば解けるのでは？

お礼

ロピタルの定理ですね。納得です。有難うございました。（２）の問題もそれでやれそうな気がしますが、ちょっと苦戦しています。がんばってみます。またよろしくお願いします。