極限の問題がわかりません

質問

logを自然対数、eをその底とする。
(1)a>0, a=0, a<0のそれぞれについて極限lim[n→∞](1/n)*log(1+e^na)を求めよ

(2)任意の実数a,bに対し、極限lim[n→∞](1/n)*log(e^na+e^nb)を求めよ

詳しい解答がありませんでした。
できれば途中式もよろしくお願いします；

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

やり方
n=1/xと置換してみて下さい。lim[n→∞]はlim[x→+0]となります。

(1)
a>0のとき
　lim[x→+0] xlog{(e^(a/x))(e^(-a/x)+1)}
　=lim[x→+0] xlog{e^(a/x)}+lim[x→+0] xlog{e^(-a/x)+1}
=lim[x→+0] x(a/x)+lim[x→+0] xlog{e^(-a/x)+1}
=a+0*log1=a
a=0のとき
　lim[x→+0] xlog{1+e^(0/x)}=0*log2=0
a<0のとき
　lim[x→+0] xlog{1+e^(a/x)}=0*log(1+0)=0

(2)
　lim[x→+0] xlog{(e^(a/x))+(e^(b/x))}
a,bの >0,=0,<0で場合分けする。

a=b=0のとき
　lim[x→+0] xlog{(e^(0/x))+(e^(0/x))}=lim[x→+0] xlog(1+1)=0*log2=0
さらに以下の場合わけをして(1)を参考にして各場合について自力でやってみて下さい。

a>0,b=0のとき
a<0,b=0のとき
a>0,b>0のとき
a<0,b>0のとき
a=0,b>0のとき
a>0,b<0のとき
a<0,b<0のとき
a=0,b<0のとき

お礼

なるほど・・頭が上がりませんｐｑ
ご丁寧な解説ありがとうございました !

回答No.2

alice_44

(1)
a≦0 のときは、lim[n→∞] log(1+e^(na)) が収束することから、与式の値が判る。
a＞0 のときは、∞/∞ の不定形になるから、ロピタルの定理を使えばよい。

(2)
(1/n) log(e^(na)+e^(nb)) = (1/n) log( e^(na) (1+e^(n(b-a))) )
= (1/n) { log( e^(na) ) + log(1+e^(n(b-a))) }
= (1/n)(na) + (1/n) log(1+e^(n(b-a)))
と変形して、(1)の結果が使える。

お礼

解けました
明解な解説ありがとうございました !