行列の証明を教えてください

質問

行列Ａ＝(a,b,c,d),Ｂ＝(1,0,1,0),Ｅ＝(0,0,0,0),
Ａ^２＝Ｂ,Ｂ^２＝Ｅ,ＢＡＢ＝Ａ^３のとき、
次になることを証明。
(1)ＢＡ^２＝Ａ^２Ｂ
(2)(a+d)(ＡＢ－ＢＡ)＝Ｏ
(3)Ａ^３≠ＡならばＡ^２＝－Ｅ

行列を３学期から習い始めて計算問題しかやっていませんが、
問題集にこの問題がありました。
どう証明すればよいのかアドバイスお願いします。
(親に頼んで質問してもらいました)

回答No.7

eatern27 · ベストアンサー

#６です。すいません、訂正です。
(３)で
＞Ａ^３≠Ａより、Ａ-Ａ^３なので、ａ+ｄ=0
Ａ－Ａ＾３
の部分を
Ａ－Ａ＾３≠Ｏとしてください。

お礼

有り難うございました
<(_ _)>
<(_ _)>
<(_ _)>

回答No.6

eatern27

(1)ＢＡ^２＝Ａ^２Ｂ
ＢＡ^２＝ＢＡ＾２Ｅ＝ＢＡ＾２Ａ^４＝Ｂ(Ａ^３)^２＝Ｂ(ＢＡＢ)^２
＝Ｂ＾２ＡＢ＾２ＡＢ＝ＥＡＥＡＢ=Ａ＾２Ｂ

(2)(a+d)(ＡＢ－ＢＡ)＝Ｏ
ハーミー・ケミルトンの定理より、ａｄ-ｂｃ=ｋとおくと
Ａ^２-(ａ+ｄ)Ａ+ｋＥ=Ｏ
Ａ^２=(ａ+ｄ)Ａ-ｋＥ
ＢＡ^２＝Ａ^２Ｂ に代入して
Ｂ{(ａ+ｄ)Ａ-ｋＥ}＝{(ａ+ｄ)Ａ-ｋＥ}Ｂ
(ａ+ｄ)ＢＡ-ｋＢ＝(ａ+ｄ)ＡＢ-ｋＢ
(ａ+ｄ)ＡＢ-(ａ+ｄ)ＢＡ＝Ｏ
(ａ+ｄ)(ＡＢ-ＢＡ）=Ｏ

(3)Ａ^３≠ＡならばＡ^２＝－Ｅ
(ａ+ｄ)(ＡＢ-ＢＡ）=Ｏ
右からＢをかけて
(ａ+ｄ)(ＡＢＢ-ＢＡＢ）=(ａ+ｄ)(Ａ-Ａ^３）=Ｏ
Ａ^３≠Ａより、Ａ-Ａ^３なので、ａ+ｄ=0
Ａ^２=(ａ+ｄ)Ａ-ｋＥなので、
Ａ^２=-ｋＥ
両辺を２乗して
Ａ^４={-ｋＥ}^２
Ｅ=ｋ^２Ｅ
よって、ｋ^２=1
ｋ=-１のとき、
Ａ＝Ｅとなり、Ａ＝Ａ^３=Ｅとなるので不適。
よって、ｋ=１となるので、
Ａ＾２=－Ｅ

回答No.5

eatern27

Ａ=｜ａ ｂ｜
　　｜ｃ ｄ｜

Ｂ=｜１ ０｜
　　｜０ １｜

Ｅ=｜０ ０｜
　　｜０ ０｜
（｜は（ ）だと思ってください。）であり、
Ａ^４=Ｅ、Ｂ＾２=Ｅ、ＢＡＢ=Ａ^３を満たす時に
(１)、(２)、(３)を求めよ

という問題ですか?

補足で、Ａ^２＝Ｂではなくて、Ａ^４＝Ｅと訂正していますが、訂正してほしいのは、Ｂ^２=Ｅの部分です。

※「Ｂ＾２＝Ｅではなくて、Ａ^４＝Ｅ」ということでいいのでしょうか?

また、(３)で、Ａ^２＝－Ｅが成り立つことを証明することになっています。Ｅが上の通りであるなら、"－Ｅ"とする意味がありません。(－Ｅ＝Ｅですから、Ａ^２＝Ｅの証明にするはず)
Ｅ=｜１ ０｜
　　｜０ １｜
ではありませんか?
普通、Ｅは単位行列なので、この方が自然です。
もし、こうであれば、Ｂがどうなるのかを書いてください。

補足

すみません間違えていました。

行列Ａ｜ａ ｂ｜ Ｅ=｜１ ０｜ Ｏ=｜０ ０｜
　　　　｜ｃ ｄ｜ 　 ｜０ １｜ 　 ｜０ ０｜
で、Ａ^４＝Ｅ,　Ｂ^２＝Ｅ,　ＢＡＢ＝Ａ^３を満たす行列Ｂがある。
次になることを証明。
(1)ＢＡ^２＝Ａ^２Ｂ
(2)(a+d)(ＡＢ－ＢＡ)＝Ｏ
(3)Ａ^３≠ＡならばＡ^２＝－Ｅ

お願いします<(_ _)>

回答No.4

TK0318

＃２ですが
Ａ＾４＝Ｅ,Ｂ^２＝Ｅ,ＢＡＢ＝Ａ^３
でも依然として解けないのですが・・・

とにかくこの問題設定Ｂ^２＝Ｅが成り立たないので・・・

補足

すみません間違えていました。

行列Ａ｜ａ ｂ｜ Ｅ=｜１ ０｜ Ｏ=｜０ ０｜
　　　　｜ｃ ｄ｜ 　 ｜０ １｜ 　 ｜０ ０｜
で、Ａ^４＝Ｅ,　Ｂ^２＝Ｅ,　ＢＡＢ＝Ａ^３を満たす行列Ｂがある。
次になることを証明。
(1)ＢＡ^２＝Ａ^２Ｂ
(2)(a+d)(ＡＢ－ＢＡ)＝Ｏ
(3)Ａ^３≠ＡならばＡ^２＝－Ｅ

お願いします<(_ _)>

回答No.3

springside

下のspringsideです。
訂正です。

B=(1,0,1,0)なら、B^2=(1,0,1,0)≠Eになってしまいませんか。

補足

Ａ^２＝Ｂではなくて、
Ａ^４＝Ｅでした。すみません<(_ _)>

回答No.2

TK0318

この状態では行と列があわないのでＡＡやＢＢが計算できません。２行２列と考えてもこの条件ではＢ＾２はＥになりません。

もう一度問題を確認してもらえませんか？

補足

Ａ^２＝Ｂではなくて、
Ａ^４＝Ｅでした。すみません<(_ _)>

回答No.1

springside

行列の書き方ですが、（左上、右上、左下、右下）ですよね。
すると、

>>Ａ^２＝Ｂ,Ｂ^２＝Ｅ,ＢＡＢ＝Ａ^３のとき、

と書いてありますが、Bは単位行列なので、B^2=(1,0,1,0)≠E=(0,0,0,0)
になりませんか。
なんか問題を書き間違えていませんか。

補足

Ａ^２＝Ｂではなくて、
Ａ^４＝Ｅでした。すみません<(_ _)>