解決済み

行列の証明を教えてください

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お礼率 88% (74/84)

行列A=(a,b,c,d),B=(1,0,1,0),E=(0,0,0,0),
A^2=B,B^2=E,BAB=A^3のとき、
次になることを証明。
(1)BA^2=A^2B
(2)(a+d)(AB-BA)=O
(3)A^3≠AならばA^2=-E

行列を3学期から習い始めて計算問題しかやっていませんが、
問題集にこの問題がありました。
どう証明すればよいのかアドバイスお願いします。
(親に頼んで質問してもらいました)
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.7
レベル13

ベストアンサー率 55% (635/1135)

#6です。すいません、訂正です。
(3)で
>A^3≠Aより、A-A^3なので、a+d=0
A-A^3
の部分を
A-A^3≠Oとしてください。
お礼コメント
seiho

お礼率 88% (74/84)

有り難うございました
<(_ _)>
<(_ _)>
<(_ _)>
投稿日時 - 2003-02-01 21:15:36

その他の回答 (全6件)

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 34% (1261/3651)

この状態では行と列があわないのでAAやBBが計算できません。2行2列と考えてもこの条件ではB^2はEになりません。

もう一度問題を確認してもらえませんか?
  
補足コメント
seiho

お礼率 88% (74/84)

A^2=Bではなくて、
A^4=Eでした。すみません<(_ _)>
投稿日時 - 2003-02-01 16:08:03
  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 41% (177/422)

行列の書き方ですが、(左上、右上、左下、右下)ですよね。
すると、

>>A^2=B,B^2=E,BAB=A^3のとき、

と書いてありますが、Bは単位行列なので、B^2=(1,0,1,0)≠E=(0,0,0,0)
になりませんか。
なんか問題を書き間違えていませんか。
補足コメント
seiho

お礼率 88% (74/84)

A^2=Bではなくて、
A^4=Eでした。すみません<(_ _)>
投稿日時 - 2003-02-01 16:06:08
  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 41% (177/422)

下のspringsideです。
訂正です。

B=(1,0,1,0)なら、B^2=(1,0,1,0)≠Eになってしまいませんか。
補足コメント
seiho

お礼率 88% (74/84)

A^2=Bではなくて、
A^4=Eでした。すみません<(_ _)>
投稿日時 - 2003-02-01 16:08:50
  • 回答No.4
レベル14

ベストアンサー率 34% (1261/3651)

#2ですが
A^4=E,B^2=E,BAB=A^3
でも依然として解けないのですが・・・

とにかくこの問題設定B^2=Eが成り立たないので・・・
補足コメント
seiho

お礼率 88% (74/84)

すみません間違えていました。

行列A|a b| E=|1 0| O=|0 0|
    |c d|   |0 1|   |0 0|
で、A^4=E, B^2=E, BAB=A^3を満たす行列Bがある。
次になることを証明。
(1)BA^2=A^2B
(2)(a+d)(AB-BA)=O
(3)A^3≠AならばA^2=-E

お願いします<(_ _)>
投稿日時 - 2003-02-01 18:02:46
  • 回答No.5
レベル13

ベストアンサー率 55% (635/1135)

A=|a b|
  |c d|

B=|1 0|
  |0 1|

E=|0 0|
  |0 0|
(|は( )だと思ってください。)であり、
A^4=E、B^2=E、BAB=A^3を満たす時に
(1)、(2)、(3)を求めよ

という問題ですか?

補足で、A^2=Bではなくて、A^4=Eと訂正していますが、訂正してほしいのは、B^2=Eの部分です。

※「B^2=Eではなくて、A^4=E」ということでいいのでしょうか?

また、(3)で、A^2=-Eが成り立つことを証明することになっています。Eが上の通りであるなら、"-E"とする意味がありません。(-E=Eですから、A^2=Eの証明にするはず)
E=|1 0|
  |0 1|
ではありませんか?
普通、Eは単位行列なので、この方が自然です。
もし、こうであれば、Bがどうなるのかを書いてください。
補足コメント
seiho

お礼率 88% (74/84)

すみません間違えていました。

行列A|a b| E=|1 0| O=|0 0|
    |c d|   |0 1|   |0 0|
で、A^4=E, B^2=E, BAB=A^3を満たす行列Bがある。
次になることを証明。
(1)BA^2=A^2B
(2)(a+d)(AB-BA)=O
(3)A^3≠AならばA^2=-E

お願いします<(_ _)>
投稿日時 - 2003-02-01 17:55:03
  • 回答No.6
レベル13

ベストアンサー率 55% (635/1135)

(1)BA^2=A^2B
BA^2=BA^2E=BA^2A^4=B(A^3)^2=B(BAB)^2
=B^2AB^2AB=EAEAB=A^2B

(2)(a+d)(AB-BA)=O
ハーミー・ケミルトンの定理より、ad-bc=kとおくと
A^2-(a+d)A+kE=O
A^2=(a+d)A-kE
BA^2=A^2B に代入して
B{(a+d)A-kE}={(a+d)A-kE}B
(a+d)BA-kB=(a+d)AB-kB
(a+d)AB-(a+d)BA=O
(a+d)(AB-BA)=O

(3)A^3≠AならばA^2=-E
(a+d)(AB-BA)=O
右からBをかけて
(a+d)(ABB-BAB)=(a+d)(A-A^3)=O
A^3≠Aより、A-A^3なので、a+d=0
A^2=(a+d)A-kEなので、
A^2=-kE
両辺を2乗して
A^4={-kE}^2
E=k^2E
よって、k^2=1
k=-1のとき、
A=Eとなり、A=A^3=Eとなるので不適。
よって、k=1となるので、
A^2=-E
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