行列が可換なとき

質問

行列A，BがあってAB，BAともに計算可能だとします。
で
AB = BA
のとき「行列A, Bは普通の文字のように扱えます。」

この「」の部分を数学的にいうにはどういえばよいのでしょうか？

回答No.3

jmh · ベストアンサー

「普通の文字のように扱えます」は、言い過ぎのような気がします…。重要なのは「ｎ個のＡとｍ個のＢを並べ替えて作った積は、どれもＡ＾ｎＢ＾ｍに等しい」だと思います（残りのは、たぶん、行列がモトモト持ってる性質だから）。「並べ替えて」を対称群？などで言い直せば、式にできると思います。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

yaksa

うーん。難しいですね。
可換環でしょうか？
A^n*B^m の任意の1次結合を要素とする集合
は、可換環になるとは思います。
でも、それが「普通の文字のように扱えます」の数学的な表現かといわれると、自信ないです。
もうちょっと、いい表現があるかもしれません。

お礼

どうもありがとうございます。

可換環が私には難しいですぅ。
「数学的に」ではなくとも「普通」を使わないでなにかありませかねぇ。
行列に対して・・・数かな？
積が常に可換なものとして扱えるものってなんですかね？

回答No.1

kurobe3463

「普通の文字式の計算のように扱えます」
という意味です．

普通，行列は
(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2
(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2
ですが，AB=BA ならば
(A+B)(A+B)=A^2+2AB+B^2
(A+B)(A-B)=A^2-B^2
となって，多項式の展開と同じになるという意味でしょう．

補足

どうもありがとうございます。
できれば「普通」と言う言葉を使いたくはないのですが。

で、意味を知りたいのではなくて、数学的にはどのように言えばよいのかを知りたいのです。