マトリックスの積と行列式の積

質問

X=ABCでX,A,B,Cはすべてマトリックスとします。サフィックスで表示するならば、
X(i,j)=A(i,m)B(m,n)C(n,j) ということかと思いますが。
この場合、
det(X)=det(A)det(B)det(C)になるとのことですが、簡単に証明できるでしょうか。線形代数の教科書を見れば必ず載っていると思うのですが、これは何も見ないで出来なくちゃと思って考え込んでいます。
X=ABの場合だけ証明できたらあとは何回積があっても同じかとは思いますが。行列式なので小行列などを用いて考えるのだろうと思いますが、パッと思いつきません。よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba

>det(X)=det(A)det(B)det(C)になるとのことですが、簡単に証明できるでしょうか。線形代数の教科書を見れば必ず載っていると思うのですが、これは何も見ないで出来なくちゃと思って考え込んでいます。

簡単だと思いますか？
行列式の計算は，2次・3次のときだけが「例外的に」簡単なだけで，
一般の場合はきわめて煩雑なものです．
行列式の定義の煩雑さを見れば納得できるかと．
＃数値計算の分野だと行列式の計算だけで
＃軽く一冊の本くらいのネタはあるものです．

けど，ほかの「強い定理」を流用できれば
それほどは困難ではないかもしれません．
たとえば，「任意の行列は基本行列の積で表せる」
（ランクの計算で使われる定理ですな）から
基本行列に対してだけ，行列式の積と行列の積の行列式の
一致を証明できればいいわけです．

「任意の行列は基本行列の積で表せる」
のは線型変換ってものの意味からすれば，
厳密な証明はともかく，内容は自明だと思うので
納得はしやすいと思う．

お礼

回答有難うございます。
この定理を利用する場合、"....なので”という風に１行でサラッと書いています。当然であり自明のことである、と言いたげでした。従って簡単であり、ずっしりとした実感を持って演繹的に示されることなのだと思ったのです。
証明は難しいが、必ず例外なく成立するものである、との理解になるでしょうか。

回答No.1

info22

最初から一般論を扱わないで二行二列の行列でやってみては如何ですか？
A=
[a1 b1]
[c1 d1]

B=
[a2 b2]
[c2 d2]
とおいて
X=A・B
を計算しておいて
det(X)　と　det(A)det(B)　を計算して
同じになることを確認してみて下さい。

お礼

回答、有難うございます。実験ということですね。
実験の結果、正しいということで、帰納的にそう推察できるということにはなると思います。2×2、3×3ぐらいまでだったらやれそうです。
逆に演繹的に納得できれば最も強力なのだろうと思いますが。