行列の問題

質問

行列A=(a b)
　　　(c d)
a,b,dは正の整数　cは整数で、

A＾2-3A+4E＝0をみたす行列Aをすべて求めよ。
という問題なのですが、解きかたがよくわかりません。
どうやって解けばよいでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.3

springside · ベストアンサー

行列Aに関して、
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O
が成り立つ。（注：成分計算で確認してください）

(i)A=kE (kは定数）のとき
A^2-3A+4E=Oなので、(k^2-3k+4)E=Oとなる。
しかし、k^2-3k+4=(k-3/2)^2+(7/4)>0であるから、(k^2-3k+4)E=Oとなることはないので、この場合は不適。

(ii)A≠kE (kは定数）のとき
A^2=(a+d)A-(ad-bc)Eと、A^2=3A-4Eより、
(a+d)A-(ad-bc)E=3A-4E
(a+d-3)A=(ad-bc-4)E (※)
今、A≠kEなので、※が成り立つためには、
a+d-3=0・・・(1)
ad-bc-4=0・・・(2)
でなければならない。

(1)より、a+d=3であるが、a,dは正の整数であるから、
(a,d)=(1,2),(2,1)である。

(a,d)=(1,2)であっても(a,d)=(2,1)であっても、(2)より、bc=-2となり、cが整数であることから、(b,c)=(1,-2),(2,-1),(-1,2),(-2,1)

以上により、
(a,b,c,d)=(1,1,-2,2),(1,2,-1,2),(1,-1,2,2),(1,-2,1,2),(2,1,-2,1),(2,2,-1,1),(2,-1,2,1),(2,-2,1,1)である。
（あとはこれを行列の形に書いてください。）

回答No.5

kof-beginner

ケーリーハミルトンより
Ａ＾２－（ａ＋ｄ）Ａ＋（ａｄ－ｂｃ）Ｅ＝０
A＾2-3A+4E＝0と↑の式を辺々引き算
すると
（ａ＋ｄー３）Ａ＝（ａｄ－ｂｃー４）Ｅ
となります。
ここから場合わけ(1)(2)

(1)ａ＋ｄー３＝０のときはＥは０じゃないので
ａｄ－ｂｃー４が０になるしかない。
ａ＋ｄ＝３、ａｄ－ｂｃ＝４→最初の式
(2)ａ＋ｄー３≠０のとき
Ａ＝ｋＥ　・・（＊）と表せる。（ｋ：実数）→問題文の式
代入したらｋについての２次方程式ができるので因数分解してｋの値を求める（Ｅは０じゃないので）

最後に（＊）の式に代入して(1)と(2)の場合の全てのＡが求まるって感じです。

補足

皆さまどうもありがとうございました。さんこうにさせていただきます

回答No.4

springside

#3のspringsideです。

bが正の整数という条件を忘れてました。

(b,c)=(1,-2),(2,-1)なので、

(a,b,c,d)=(1,1,-2,2),(1,2,-1,2),(2,1,-2,1),(2,2,-1,1)です。

回答No.2

noname#16133

A＾2＝3A-4E

という風に式を変形して実際に成分(行列の中の数字)を代入して計算してから左辺と右辺の成分を比較して

対応する成分について連立方程式をたてればＯＫ！！！

回答No.1

kony0

ケーリー・ハミルトンの定理と並んで、必ず例題で出てくる問題です。
高校の参考書をよく見てみてください。