経済数学のレオンチェフの逆行列の問題について

質問

経済数学の試験の過去問を解こうとしているのですが、出てくる数字が明らかにおかしいので戸惑っています。
「ある国の投入係数表を使って以下の問いに応えよ」という問題で、

（１）投入係数行列を表記せよ
→これは投入係数表をそのまま抜き出すだけ・・ですよね？すると
0.1 0.2 0.0
0.4 0.2 0.3
0.2 0.4 0.5
となりました。

（２）第i次産業をxi,第i次産業の製品に対する最終需要をyiで表記するものとする。この国のレオンチェフの基本方程式を表記せよ。
これは（I－A)x=cという公式に当てはめて
0.9 －0.2 ０
－0.4 0.8 －0.3
－0.2 －0.4 0.5
に産出量ベクトルをかけてイコール最終需要ベクトルの形にしました。

問題は（３）で、「この国のレオンチェフの逆行列を求めよ」とあるのですが、つまりそれは（２）↑の（I-A ）部分の逆行列を求めればよいのですよね？それで私は１．まずサラスの法則で行列式を求め２．余因子行列を出して、逆行列を求めようとしました。
サラスの法則は以下の形で計算しました（対角成分？を掛けて足して引く）↓
0.9 －0.2 ０
－0.4 0.8 －0.3 －0.4 0.8 －0.3 －0.4 0.8 －0.3
－0.2 －0.4 0.5 －0.2 －0.4 0.5 －0.2 －0.4 0.5

↑表示がずれています、すいません

このやり方自体は合っているのでしょうか？（私の場合は上の行列式だけで変な数字が出てきてしまったのですが・・）
間違っている場合は正しいやり方、やり方があっていても正解の数字が何なのか（できれば行列式と余因子行列の数値も含め）示していただけるととてもありがたいです

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

「（I-A ）部分の逆行列を求めればよいのですよね？」

多分、正しい。輸入とかを考慮するともう少し複雑になるが。

「サラスの法則で行列式を求め」

行列式 = 0.9*0.8*0.5 + (-0.4)*(-0.4)*0 + (-0.2)*(-0.3)*(-0.2) - 0.9*(-0.4)*(-0.3) - (-0.2)*(-0.4)*0.5 - 0*0.8*(-0.2) = 0.2

「余因子行列を出して」

余因子行列の第 i 行第 j 列は、元の行列の第 j 行と第 i 列を削除して、行列式を計算し、 (-1)^(i+j) を乗じたものです。（ i と j が入れ替わっていることに注意）

（例）
余因子行列の第 1 行第 1 列 = (0.8*0.5 - (-0.4)*(-0.3))*1 = 0.28
余因子行列の第 1 行第 2 列 = ((-0.2)*0.5 - (-0.4)*0)*(-1) = 0.10
余因子行列の第 1 行第 3 列 = ((-0.2)*(-0.3) – 0.8*0)*1 = 0.06
余因子行列の第 2 行第 1 列 = ((-0.4)*0.5 – (-0.2)*(-0.3))*(-1) = 0.26

「逆行列を求めようとしました」

逆行列は、余因子行列を行列式で割って求めます。

（例）
逆行列の第 1 行第 1 列 = 0.28 / 0.2 = 1.4
逆行列の第 1 行第 2 列 = 0.10 / 0.2 = 0.5
逆行列の第 1 行第 3 列 = 0.06 / 0.2 = 0.3
逆行列の第 2 行第 1 列 = 0.26 / 0.2 = 1.3

なお、上の方法は、小さい行列でしか使えません。大きい行列だと別の計算方法になります。

お礼

遅くなりましたが、ちゃんと解く事が出来ました！とても丁寧な解説をありがとうございました。