行列式の公式

質問

行列A=(a_{ij})の余因子行列をB=(B_{ij})とします．
Aが3行3列の場合，
(1)　　　B_{11} B_{22} - B_{12} B_{21}=a_{33} |A|
が成り立つと思います．Bの余因子行列をC=(C_{ij})とすると，(1)は
(2)　　　C_{33}=a_{33} |A|
と表せると思うのですが，Aが3×3の場合に
(3)　　　C_{ij}=a_{ij} |A|
という公式があるのでしょうか？(2)の場合は直接計算すれば証明できますが，(3)が成り立つ場合，どのように証明すればいいのでしょうか？

また，Aが一般のサイズの行列のときに(3)に似たような公式はあるのでしょうか？

よろしくおねがいします．

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

おしい＞#1.
n次行列 A の余因子行列を B とおくと
BA = (det A)E
だから
det(BA) = (det A)^n
ですね. で, ごにょごにょするととりあえず
「A が正則なら」 B の余因子行列を C とおくと C = (det A)^(n-2) A
がでます. こっちは簡単.
A が正則でない場合も同じことが言えそう (つまり n>2 なら C=O) なんだけど, どうしましょうかねぇ....

お礼

どうもありがとうございます．

回答No.5

Tacosan

adj(A) を A の余因子行列, det(A) を A の行列式とします.
A が 2次であれば adj(adj(A)) = A なのは一瞬でわかるので, A の次数 n は 3以上とします.
det(A) ≠ 0 なら adj(adj(A)) = det(A)^(n-2) A なので, さらに det(A) = 0 とします.
このときじっと見るとわかるのですが, 実は
adj(A) において任意の 2行が従属 (※)
です. これで n≧3 が効いて adj(adj(A)) = O.

(※) を示すのは, 外積を拡張して #3 を応用することができます.
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D#.E8.A1.8C.E5.88.97.E5.BC.8F.E3.82.92.E4.BD.BF.E3.81.A3.E3.81.9F.E6.8B.A1.E5.BC.B5
にあるように拡張すると adj(A) の任意の行が A の適当な列の「外積」で表現できます. この「外積」が多重線形かつ交代的であることを使えば (※) が出てきます.

お礼

det(A)=0の場合についても回答いただき，ありがとうございます．
外積については詳しく知らないのですが，また勉強してみたいと思います．

回答No.4

alice_44

←A No.1
ああぁ、しまった。はずい間違え方を…
det(kA) = (k^n)(det A) じゃんね。最悪。

det A = 0 の場合は、未だ考え中だけれど、見通し立たず。
AB = BA = 0 からは B が決定できないから、他の策が要る。
B[i,j] = ∂(det A)/∂A[i.j] が有望そうな気もしたけれど、
行き詰っている。

回答No.3

Tacosan

あ～, なんかちょ～反則技な解き方が....
3次行列 A = (x, y, z) とします (もちろん x, y, z は列ベクトル). ついでに A の余因子行列を adj(A) と書くことにすると, なんと
adj(adj(A)) = ((z×x)×(x×y), (x×y)×(y×z), (y×z)×(z×x))
が成り立ちます (× は外積). ここで, 最後の外積をばらすとベクトル三重積とかスカラ三重積がでてきて最終的に
(z×x)×(x×y) = |x y z|x = |A|x
などとなります. まとめると
adj(adj(A)) = (|A|x, |A|y, |A|z) = |A|(x, y, z) = |A| A.

回答No.1

alice_44

detＡ ≠ 0 のときは、
ＡＢ = ＢＡ = (detＡ)Ｅ の式で各辺の det を取ると detＢ = 1 になって、
この式を Ｂ(Ａ/detＡ) = (Ａ/detＡ)Ｂ = 1Ｅ と変形してみれば、
Ｃ = Ａ/detＡ であることが解る。(3)は、ちょっと違うね。

さて、detＡ = 0 のときは、どうしよう？