• ベストアンサー

逆行列の存在について

n×n行列で各列がそれぞれ一次独立のn次ベクトルからなるものは逆行列が存在する気がするのですが、そのことの証明または反例を教えてください。なるべく行列式の計算方法を知らなくてもわかる方法で示していただけると嬉しいです。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • tsukita
  • ベストアンサー率50% (41/82)
回答No.3

直感的にこんなことを考えれられるなんて、憧れます! >そのことの証明または反例を教えてください。 反例はありません。なぜなら、あなたが考えている命題「n×n行列で各列がそれぞれ一次独立のn次ベクトルからなるものは逆行列が存在する」は真だからです。 証明は、一般の線型代数の専門書には必ずといっていいほど載っていると思いますよ。

その他の回答 (2)

  • koko_u_u
  • ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.2

>各列がそれぞれ一次独立のn次ベクトル これは n 列の中から任意に 2つを取り出して、その 2本のベクトルが 1次独立という意味ですか?

  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.1

列ベクトルに、その行列を左から掛ける ことで表現される一次変換が、一対一対応 であることを証明しましょう。 その一次変換の逆写像を表現する行列は、 どんな行列ですか?

関連するQ&A

  • 逆行列

    逆行列の証明です。 わかる方、教えてください。 n次元のベクトル、x_1~x_k (1≦k≦n)は1次独立であると仮定したとき、(g(αβ))=x_α ・ x_β (注…xは太字で表していませんがベクトルなので、右辺はもちろん内積です。ちなみにここでの添字α,βはベクトルの要素を表すのではなく、ベクトルの番号を表します) を(α,β)要素とするようなk次の正方行列G=(g(αβ))を考える。 このとき、Gの逆行列G(-1)=(g(αβ))(-1)が必ず存在することを証明してください。 ーーーーーー おそらく行列式を用いて証明するのでしょうが、はじめの1次独立という仮定をうまく利用できません。2次形式を用いてみたら?というアドバイスもいただいたのですが、こっちのほうがもっと手付かずです。 どなたかわかる方、書き表し方が見にくくてすみませんが教えてください。 あと、(g(αβ))(-1)は(g(αβ))の逆行列です。

  • 行列の和の逆行列について

    情報処理系の数学(カルマンフィルタとか)では(A+B+C)^(-1)とか(A+BCF)^(-1)のように行列の和(あるいは行列と行列の積の和)の逆行列の表式があり、公式のようなものが与えられていたりします。その中で例えば(A+B+C)^(-1)でA,B,Cとは何かと言うと行列(普通は正方行列?)なわけですが、例えば単に1つの値(スカラー)であった場合は逆数というのは自然な拡張としてあり得ると思います。1行1列の行列の対角成分だけの行列と見なすわけです。これはいいだろうと思います。問題はAなどがベクトルだったときです。これは計算できないということでいいでしょうか。ベクトルだったら1行N列の行列(N行1列でも)ということであり、逆行列が定義できないということになるでしょうか。カルマンフィルタなどではベクトルではないかと思うものが式の中に入っているのですが。Rで実験してみるとAの逆行列はsolve(A)だけで求まります。Aがスカラーだったら予想どおり逆数なります。ベクトルだったらエラーです。やはりベクトルだと当然ダメということでしょうか。

  • 固有ベクトルの逆行列が存在しない?

    行列A= (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) の固有値と固有ベクトルを求める(ただし各固有ベクトルの最大の成分は1となるようにする) 問題なのですが, 固有値λ=-1(重解),2 と求め 固有ベクトルをそれぞれ x=(x1,x2,x3)=(1,-1/2,-1/2),(1,1,1) と求めたのですが, 対角化行列P= (1,1,1) (1,-1/2,-1/2) (1,-1/2,-1/2) の行列式が0になってしまいPの逆行列が存在しないことになってしまいます。 これはどこかで計算ミスをしているのでしょうか? それとも固有ベクトルに逆行列が存在しないことはあるのでしょうか? 自分ではこれ以上見直しても分からないので 教えてくださると助かります。

  • n次正方行列Aに関して次の[1]~[5]はすべて同値であることを証明せよ。

    n次正方行列Aに関して次の[1]~[5]はすべて同値であることを証明せよ。 [1] Aは正則 [2] |A|≠0 [3] rank A = n [4] Aのn個の列ベクトルは1次独立。 [5] AB = Eを満たすn次正方行列Bが存在する。  [1]→[2] Aが正則であるから、Aには逆行列が存在し、AA^-1=Eとなる。 |AA^-1|=|E|より、|A||A^-1|=1≠0となり、|A|≠0であることがわかる。 ∴ Aが正則ならば|A|≠0である。 [2]→[3] P、Qを正則行列として、 PAQ=(Er 0 0 0) としたとき Aがn次正方行列なので、P、Q および右辺の行列もn次の正方行列である。 |A|≠0より|PAQ|≠0で(Er 0 0 0)≠0となり、r=nなり、rankA=nが言える。 ∴ |A|≠0ならば、rankA=nである。 [3]→[4] Aがn次正方行列でrankA=nより、 Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にn行n列の単位行列にできる。 よって、単位行列のn個の各列ベクトルは、単位基底であるので1次独立である。 ∴ rankA=nならば、Aのn個の列ベクトルは1次独立である。 [4]→[5] Aの列ベクトルをa1、a2、・・・、 anとする。 また、x1、x2、・・・・・、xnをスカラーとして、x1a1+x2a2+・・・・+xnan=0・・・(1)とする。 a1、a2、・・・・、anが1次独立であるので、(1)式中のxi(i=1、2、・・・n)はすべて0となる。 このとき|A|=0であると、xiが自明な解以外の解を持ってしまうので |A|≠0である必要がある。|A|≠0であれば、A^-1が存在し、AA^-1=Eとなる。 このとき、A^-1=Bとすれば、AB=Eとなる。 ∴ Aのn個の列ベクトルが1次独立ならば、AB=Eを満たすn次正方行列Bが存在する。 [5]→[1] AB=Eより、|A||B|=1 つまり|B|≠0。このことよりBC=Eとなる行列Cが存在する。 C=EC=(AB)C=A(BC)=AE=A。 ここで、BA=Eであることがわかる。 AB=EのBとBA=EのBが同じであり、Aに対して、Bが1つしか存在しない。 よって、BがAの逆行列であることがわかる。 Aに逆行列が存在するということは、Aは正則である。 ∴ AB=Eを満たすn次正方行列が存在すれば、Aは正則である。 上記のように解いたのですが、証明できていますでしょうか? アドバイスお願い致します。

  • 行列

    n次の実対称行列は、固有値に重複度があってもn個の線形独立なベクトルがあることの証明をお願いします。

  • 行列の固有ベクトル

    (n*n)行列の固有値、固有ベクトルを求める過程で、 固有値が重解になるものの扱い方がよくわかりません。 独立な固有ベクトルがn個求められればよいのですが、 固有ベクトルがn個存在しない場合もあるのでしょうか? また、そういう行列は対角化できないので 代わりにジョルダン標準形にする、 と考えていいのでしょうか? どなたか教えてください。よろしくお願いします。

  • 【証明】この行列の逆行列は?

    i行目、j列目の要素が1/(i+j)である正方行列は正則であることを証明せよ。また逆行列のすべての要素が整数であることを証明せよ。 ためしに、n=1,2,3,4の場合のdeterminantを計算してみたのですが、それぞれ、1/2,1/72,1/43200,1/423360000と切りのいい答えになりました。規則性がありそうなので一般化できないかと悪戦苦闘してみたのですが手がかりがつかめません。よろしくお願いします。

  • 逆行列は存在するの?

    Aの逆行列をA(-1)と表してみます。 高校生のとき不思議だったのが、   A、Bに逆行列が存在するとき、    (AB)(-1)=B(-1)A(-1) という性質でした。これ自体に疑問を持ったのではなく、ABの逆行列の存在を無条件に受け入れている様に思うからです。だって、=で結ばれているということは右から左に変形できてもよさそうじゃないですか。 そこで質問ですが、この状態でABという行列の逆行列は必ず存在するのでしょうか。高校の先生は「うーん。これは、左辺は右辺の計算をすれば出てくるという式だ」というだけで、私には理解できませんでした。分かりやすく教えてください。

  • 逆行列の計算

    こんばんは。 逆行列の計算についてどうしてもわからない所があるので教えてください。 行列(B+C*Rt)があります。(Rtは行列Rの転置) ここで、B=[B11 0; B21 B22]{;は改行}の構造化行列で次元は,(行*列)の順番でB11がn+n,0がn*m(0は0行列),B21がm*n,B22がm*mです。 行列Cに関しては、C=[B21;0]でB21がn*m,0がm*mの0行列。 行列Rtに関しては、Rt=[0 Iq]で0がm*nの0行列、Iqがm*mの単位行列です。 この時(B+C*Rt)の逆行列がわかりません。 答えは、B~-B~*{C*(Iq+Rt*B~*C)~*Rt}*B~になると思うのですが・・・(~は逆行列です) どなたか解かる方お願いします。

  • 転置行列の階数

    行列の階数と、その転置行列の階数は同じなるという定理の証明なのですが、理解できなくて困っています。 行列の階数=一次独立な行ベクトルの総数 転置行列の階数=一次独立な列ベクトルの総数 というところまでは理解できるのですが、一次独立な行ベクトルの総数と、一次独立な列ベクトルの総数は、何故一致するんでしょうか?